加群の種類とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:37 UTC 版)

「環上の加群」の記事における「加群の種類」の解説

有限生成加群 加群 M が有限生成あるいは有限型であるとは、M の有限個の元 x1,...,xn で、それらの R-係数線型結合によって M の任意の元が書き表されるときに言う。 巡回加群 加群が巡回加群であるとは、それが唯一つの元で生成されるときにいう。 自由加群 自由加群は基底を持つ加群である。これは係数環 R のいくつかのコピーの直和に同型である加群といっても同じである。自由加群はベクトル空間とかなり同じように振舞う。 射影加群 射影加群は自由加群の直和因子であり、自由加群とよい性質をたくさん共有している。 入射加群 入射加群は射影加群の双対として定義される。 平坦加群 平坦加群はテンソル積で単射が保たれるような加群である。 単純加群 単純加群 S とは {0} と S 自身しか部分加群を持たないような {0} でない加群のことである。単純加群はしばしば既約加群とも呼ばれる。 半単純加群 半単純加群は単純加群の直和である。 直既約加群 直既約加群とは、{0} でないふたつの部分加群の直和に書くことができない加群のことをいう。任意の既約加群は直既約加群だが逆は必ずしも成立しない。 忠実加群 忠実加群 M とは、R の 0 でない各元 r に対して r の M への作用が自明でない（すなわち、M の元 x で rx ≠ 0 となるものがある）ときに言う。これは M の零化域 (annihilator) が零イデアルであるときといっても同じである。 ネーター加群 ネーター加群は任意の部分加群が有限生成となる加群である。同じことだが、ネーター加群の部分加群からなる任意の昇鎖列は有限の長さで止まる。 アルティン加群 アルティン加群とは、その部分加群からなる任意の降鎖列が有限の長さで止まるような加群をいう。 次数加群 次数付き加群とは、直和分解 M = ⊕x Mx を持つ、次数付き環 R = ⊕x Rx 上の加群であって、任意の添字 x, y に対して RxMy ⊂ Mx+y と成るようなものを言う。

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