入射加群とは？ わかりやすく解説

数学において、入射加群（にゅうしゃかぐん、英: injective module）、あるいは移入加群（いにゅうかぐん）とは、関手 Hom(–, E) が完全となるような加群 E のことである。 ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。

動機

一般の加群 Q に対して反変関手 Hom(–, Q) は左完全である。 つまり任意の短完全列

${\displaystyle 0\to N\to M\to K\to 0}$

• 任意の単射準同型 f : Q → M は分裂単射
• 任意の短完全列 0 → Q → M → K → 0 は分裂する

自己移入環

環 R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。

性質

• Q_i はすべて移入加群 ⇔ ∏Q_i は移入加群

Baerの判定法

左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 L→Q に対して、その拡張 R→Q が存在することである。

移入分解と移入次元

加群 M に対し、各 ${\displaystyle Q_{i}}$