以下は日本語で書かれた数学の問題です。 ただし、文中に数式がある場合は、KATEX形式の数式を$記号一つ、または$記号二つで囲んだ形式で書かれています。 問題を解いてください。 {問題文} 早速、検証結果を見ていきましょう。 第1問 次の式を計算し、値を整数で答えよ。 \sqrt{\frac{11^4 + 100^4 + 111^4}{2}} 答: 11221 OpenAI o1の回答 次の式を計算します。 \sqrt{\frac{11^4 + 100^4 + 111^4}{2}} 各項を計算する 11^4 11^2 = 121 より、11^4 = 121^2 = 14641. 100^4 100^2 = 10000 より、100^4 = 10000^2 = 100000000. 111^4 111^2 = 12321 より、111^4 = 12321^2. ここで 12321 \time

√2^√2^√2^√2・・・の答えはどうなるでしょう？さらに、 √3^√3^√3^√3・・・の答えはどうなるでしょう？ これらを探るととても興味深い事実が分かります。 さらに、y=x^x^x^x・・・のグラフをエクセルと数学ソフト、数学理論を駆使して何とか描いてみると、その異様さに驚きます。その様相はあるものにそっくりでした。

今回の内容は2024年12月8日の JuliaLangJa 年末 LT 大会 2024 での発表内容となります。 また，Julia Advent Calendar 2024の12日目の記事となります。 はじめに 横山 明日希（@asunokibou）さんのXのポストで次のような問題がありました。 (1)の\fbox{ア}〜\fbox{キ}に異なる自然数を入れる場合を考えます。

$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]

最近積の和典型が話題になっているので書きます。 N個のマス目が横一列に並んでいる状況を考えます。初め、全部のマスは白色です。このうち K 個のマスを選んで黒く塗った時にできるマスの状態は何通りでしょうか？ これを こうする これは　通りです。 これを応用すると、次のような問題が解けます。 長さが N であって、総和が M である非負整数列の個数を求めよ。 非負整数列というのは、各要素が負の数でない整数からなる数列です。[1, 2, 3, 4, 5] とか [0, 0, 1, 4, 3] とかです。これの個数を数えるのに、先ほどのマスの数え方を使うことができます。 まず、 M + N - 1 個の白いマス目を用意します。そのあと、そこから N - 1 マス選んで塗ります。こうしたとき、必ず M 個のマスが白いままで残っています。また、マスの両端や黒マスを境目として考えると、白いマスが連続する

NTT データ数理システムでアルゴリズムの探求をしている大槻 (通称、けんちょん) です。好きなアルゴリズムは二部マッチングです。今回は、歴史の記録に残る最古のアルゴリズムの 1 つとして知られるユークリッドの互除法について書きます。 ユークリッドの互除法は、最大公約数を求めたり、一次不定方程式 $ax + by = c$ に応用したりなど、大学受験でもお馴染みのアルゴリズムですが、整数論的アルゴリズムや数え上げアルゴリズムにおいて根幹を成す重要なものでもあります。 今回の記事では特に、一次不定方程式 $ax + by = c$ の整数解を一般に求めるアルゴリズムとして知られる「拡張ユークリッドの互除法」の理解を目指します。 1. ユークリッドの互除法とは ユークリッドの互除法は、2 つの整数 $a$, $b$ の最大公約数を効率よく求めるアルゴリズムです。本記事では $a$ と $b$

ググっても出てこなかったので。 2つの楕円が接している（内接 or 外接）かどうか判定する方法についてです。ついでに衝突判定もできます。 衝突判定だけしたい方 以下で説明する方法でも判定自体はできますが、非常に非効率です。悪いことは言いません。GJK法などを使いましょう。凸同士なので簡単にできます。 どうしても接触を判定したい方 心して読み進めてください。 事の発端 まだそんなにバズってないけど宣伝していいらしいので． AI でも普通のプログラマーでもない優秀なプログラマーたる皆さんは，もちろん楕円が接するか判定する方法を知っていますよね？ 私は一昨日実装しました．各位の解法に興味があります．よろしくお願いいたします． — 青い楕円形のぜろ (@0_uda) October 4, 2022 もちろん楕円が接するか判定する方法を知っているので、書くことにしました。 楕円の表現方法 楕円とはい

1. なぜ 998244353 で割るのか？ 最初はこのような設問を見るとぎょっとしてしまいますが、実はとても自然な問題設定です。 $998244353$ で割らないと、答えの桁数がとてつもなく大きくなってしまうことがあります。このとき以下のような問題が生じます: 多倍長整数がサポートされている言語とされていない言語とで有利不利が生じる 10000 桁にも及ぶような巨大な整数を扱うとなると計算時間が膨大にかかってしまう 1 番目の事情はプログラミングコンテストに特有のものと思えなくもないですが、2 番目の事情は切実です。整数の足し算や掛け算などを実施するとき、桁数があまりにも大きくなると桁数に応じた計算時間がかかってしまいます。実用的にもそのような巨大な整数を扱うときは、いくつかの素数で割ったあまりを計算しておいて、最後に中国剰余定理を適用して復元することも多いです。 なぜ 9982443

概要 2^n-1 型の数はメルセンヌ数と呼ばれ、更に素数である場合にメルセンヌ素数といいます。本記事では、メルセンヌ数に対する高速な素数判定法であるリュカ・レーマーテストを、Rustの任意精度演算用クレート rug を利用して実装します。 実行環境 CPU: Intel Core i7 1.8GHz メモリ: 16GB OS(ホスト): Windows 10 Home 21H1 WSL2: Ubuntu 20.04.3 rustc: Ver. 1.55.0 cargo: Ver. 1.55.0 符号付き整数型の範囲について Rustには組み込みの整数型として 8,\,16,\,32,\,64,\,128 ビット整数[1]がそれぞれ符号付き・符号なしで備わっています[2]。そのうち符号付き整数は、他の多くの言語と同様、2の補数によって負の数が表現されます。したがって、ビット数 n = 8,

「フカシギの数え方」おねえさんといっしょ！みんなで数えてみよう！ ※LINEスタンプ「フカシギお姉さんと仲間たち」をリリースしました。※ "The Art of 10^64 -Understanding Vastness-" Time with class! Let's count! LINE sticker "Combinatorial Explosion!" has been launched! http://line.me/S/sticker/1143771 「フカシギの数え方」で紹介している、組み合わせ爆発の例です。 「それでもね。私はみんなに「組み合わせ爆発のすごさ」を教えたいの！止めないで！」 お姉さんと子どもたちが実際に数え上げる大変さを伝えます。 This is an example about combinatorial explosion. "I want to de

要望 nCk mod 10^9+7を高速に計算したい n,k≦10^5 追記：llはlong longのことです 使ってるテンプレートはこんな感じです。 #include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++) using namespace std; typedef long long ll; 高校で習うやり方でやると… ll mod = 1000000007; //--------------------------------------------------------------------------------------------------- ll C(int n, int k) { ll res = 1; rep(i, 0, k) res = (res * (n - i)) % mod; rep(

コンピュータグラフィックスに関する数学，線形代数や確率，統計，微積分，クォータニオン，フーリエ解析などに関する解説書です． 誤字や間違いなどのご指摘は以下からコメントをお願いします． https://zenn.dev/mebiusbox/scraps/90bc293a07430d

SNSなどで話題になっていたので調べてみたら勉強になったのでメモ。 環境 Pythonでの実装例 例1 例2 例3 エラトステネスの篩 Rustでの実装例 試し割り法 エラトステネスの篩 アトキンの篩 おまけ: GMP Benchmark 高速化のテクニック 上限個数を見積もる Wheel factorization オチ Repository References 環境 手元のMacBook Pro 13-inchの開発機で実験した。 2.8 GHz Intel Core i7 16 GB 2133 MHz LPDDR3 Pythonでの実装例 例1 最も単純に「2以上p未満のすべての数で割ってみて余りが0にならなかったら素数」とする、brute force 的なアプローチ。 import cProfile import io import pstats import sys def m

どうも、浮動小数点数オタクのmod_poppoです。 昨日開催された ABC169 の C 問題が浮動小数点数の罠な問題だったらしいので、どこが罠なのか、そしてどうすれば罠を回避できるのかを解説してみます。 また、典型的な誤答に対しては、それを落とすためのテストケースも用意しました。 問題文（引用） まず最初に問題文を引用しておきます。 AtCoder Beginner Contest 169 | C - Multiplication 3 問題文 $A\times B$ の小数点以下を切り捨て、結果を整数として出力してください。 制約 $0\le A\le 10^{15}$ $0\le B<10$ $A$ は整数 $B$ は小数第 2 位まで与えられる 入力 入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

去年の12月頃から数学の学び直しを始めた。 職業柄少し専門的な、特に機械学習の方面の書籍などに手を出し始めると数式からは逃れられなかったりする。とはいえ元々自分は高校時代は文系で数学1A2Bまでしか履修していない。そのせいか少し数学へ苦手意識があり「図でわかるOO」とか「数学無しでもわかるOO」のような直感的に理解出来る解説に逃げることが多かった。実務上はそれで問題ないにしてもこのまま厳密な理解から逃げているのも良くないなと感じたのでもう少し先の数学に取り掛かることにした。 巷には数学の学び直しについての記事が既にたくさんある。それに自分の場合は何かの受験に成功した！とか難関の資格を取得した！というような華々しい結末を迎えている状態ではない。そんな中で自分が何か書いて誰の役にたつかもわからないが、少なくとも自分と似たようなバックグランドを持つ人には意味のある内容になるかもしれないので、どの

1. 典型的な二項係数の求め方 競プロをしていると、「 mod 」を計算する場面にしばしば出くわします。最近では、 であることが多いですね。 mod の計算方法は、時と場合によって色んな方法が考えられますが、すぐ下で紹介する方法が最も頻繁に使用されています。多くの AtCoder のトッププレイヤーたちも使用している形式で、高速です。 使い方としては、最初に一度前処理として COMinit() を呼び出します。その後は、毎回 COM(n, k) 関数を呼べばよいです。 前処理 COMinit()：計算量 クエリ処理 COM(n, k)：計算量 1-1. mod の実装 この実装では、ACL (AtCoder Library) の modint を用いています。さらに下に、modint を使わない実装も載せています。 #include <iostream> using namespace s

この記事ははてなエンジニア Advent Calendar 2018の18日目の記事です. 昨日はid:WindymeltのSmart::Argsのパーサを書いたでした. 明日の担当はid:hokkai7goです. 他の担当者の記事は割と業務っぽいものが多いですが, 今回は趣味っぽいゆるゆるのネタです. 社内でとある数学パズルを紹介したところAdvent Calendarに書いてくれとリクエストがあったので, 紹介します. 単に問題を紹介するだけでは面白くないので, コードを書いて解答できるようにしてみました. 問題 あなたは100人の囚人の一人です. 全員で以下のようなゲームをして, 見事勝利できれば全員釈放, 負ければ全員死刑となります. ゲーム開始と同時に全員別々の独房に入ります 独房内や通路で他の囚人とやりとりすることはできません ランダムに1人ずつスイッチの部屋に呼ばれます 十分

「月を入力すると日を返す多項式」の話が、Twitterのタイムライン上で話題になりました。 togetter.com どんな話題かというと、多項式 を以下のように定義したとき この に を代入すると、 となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！ こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。 これについては 中国剰余定理 が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。 月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日 中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応

リンク Wikipedia 過剰適合 過剰適合（かじょうてきごう、英: Overfitting）とは、統計学や機械学習において、訓練データに対して学習されているが、未知データ（テストデータ）に対しては適合できていない、汎化できていない状態を指す。汎化能力の不足に起因する。 その原因の一つとして、統計モデルへの適合の媒介変数が多すぎる等、訓練データの個数に比べて、モデルが複雑で自由度が高すぎることがある。不合理で誤ったモデルは、入手可能なデータに比較して複雑すぎる場合、完全に適合することがある。 機械学習の分野では過学習とも呼ばれる。過剰適合の 2 users 23

春休み暇ですし, 円周率を計算してみることにしました. エントリーが長くなりましたがお付き合いください. はじめにお断り 私は円周率計算に関しては全くの素人です. もっとスケーラブルなコードの書き方があると思いますので, あまりここばかりあてにしないでください. 時間がないせっかちな人へ コード書く試行錯誤をだらだら書いたので, 割とエントリーが長くなっちゃってます. 結論をここに書きます. 当初の目標は円周率1000万桁を計算することでした. 結局のところは, 後に上げる参考文献を実装しただけです. 計算アルゴリズムは, Chudnovskyアルゴリズムです. 最近の円周率計算の記録はこのアルゴリズムに基づいています. Gauss AGMというアルゴリズムを用いている他のソフトウェアと実行時間を比較することで, Chudnovskyアルゴリズムがいかに速いかを示しました. 円周率の小数点