2部グラフ
の
のある
が
の点と
の点を結ぶとき, この
と
のように表す. 
2部グラフ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/24 19:12 UTC 版)
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数学、特にグラフ理論における2部グラフ（にぶグラフ、英: bipartite graph）とは、頂点集合を2つに分割して各部分の頂点は互いに隣接しないようにできるグラフのことである。一般に互いに隣接しない頂点からなる集合を独立集合といい、頂点集合を n 個の独立集合に分割可能なグラフのことを n 部グラフ (n-partite graph) という。
頂点集合を独立集合 V1, V2 に分割したとき、V1 と V2 の任意の頂点が隣接するグラフを完全2部グラフという。頂点集合が m 頂点とn 頂点に分割される完全2部グラフを Km,n と書く。
辺を共有する頂点を異なる色で塗ることを（頂点）彩色という。よって、n 部グラフは n 彩色可能なグラフに他ならない。同様に、頂点を共有する辺を異なる色で塗ることを辺彩色という。
2部グラフの辺集合はどの2辺も互いに隣接していないときマッチングと呼ばれる。辺の数が最大のマッチングを最大マッチングと呼ぶ。また、すべての頂点がマッチングに含まれる辺の端点であるとき完全マッチングと呼ぶ。
性質
- 2部グラフの最大マッチングは多項式時間で求められる。最大フロー問題を参照。
- 木は2部グラフである。
- 閉路グラフは頂点が偶数個のときに限り2部グラフである。
- Königの定理：2部グラフにおいて、最大マッチングの辺数は最小点被覆の点数と等しい。
関連項目
- ホールの定理
- DM分解
外部リンク
2部グラフ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 05:56 UTC 版)
2つの部分がr個とs個の頂点を持つ2部グラフの隣接グラフAは以下の形式で書くことができる。 A = ( 0 r , r B B T 0 s , s ) , {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0_{r,r}&B\\B^{T}&0_{s,s}\end{pmatrix}},} 上式において、Bはr × s 行列、0r,rおよび0s,sはr × rおよびs × sゼロ行列を表わす。この場合、より小さな行列Bがグラフを一意に表わし、Aの残りの部分は冗長として捨てることができる。Bはbiadjacency行列と呼ばれることがある。 形式的に、G = (U, V, E)を部分U = {u1, …, ur}およびV = {v1, …, vs}を持つ2部グラフとする。Biadjacency行列は、 (ui, vj) ∈ Eの時かつその時に限りbi,j = 1のr × s 0–1行列Bである。 Gが2部多重グラフまたは重み付きグラフならば、要素 bi,jは頂点間の辺の数、または辺(ui, vj)の重みをそれぞれ取る。
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