可換とは？ わかりやすく解説

二つの演算が入れ替わる「交替法則」とは異なります。

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初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、英: commutative law; 可換則、交換律^{[注釈 1]}）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。

• 4 + 5 = 5 + 4（両辺とも値は9である）
• 2 × 3 = 3 × 2（両辺とも値は6である）

しかし引き算や割り算はそうではない。

• ${\displaystyle 4-5\neq 5-4}$

  可換性質の暗黙的な使用は古代に遡る。古代エジプト人は積の計算の簡素化に乗法の可換性を用いている^{[1][2][要ページ番号]}し、エウクレイデスが著書『原論』において乗法の可換性を仮定していたことは良く知られている^[3]。明示的な形で交換法則が立ち現れるのは、数学者により函数論が築かれ始める18世紀後半から19世紀初頭にかけてである。今日では可換性は数学の大部分の分野で良く知られた基本性質として扱われている。

  記録上 commutative の語が初めて現れるのはセルヴォワ（英語版）の回顧録(1814年)で^[4][5]、現在では可換性と呼ばれる性質を持つ函数を記述するために commutatives の語が用いられている。語義はフランス語で「置き換え」や「入れ替え」を意味する commuter に「傾向がある」ことを意味する接尾辞 -ative が付いたものだから、字面通りに読めば「入れ替えようとするもの」である。

  定義と語法

  「交換」あるいは「可換」("commutative") という語は（関連はあるが厳密には異なる）いくつかの意味で用いられる^[6][7]。「交換法則」や「可換律」のように言うとき、一般的にはそれは二項演算（あるいはより一般に二項関係や二変数写像（英語版））に結び付けられた性質のことを言うものと理解される。特定の演算を固定して考えるとき、その演算の引数となる二つの元で、交換法則の言う条件式を満足するものに対しては、それらの二元が（与えられた演算のもとで）「交換する」「可換である」(commute) と言い表す。

  以下、集合 E 上に二項演算 ∗ が定められているものとして:

  • E の二つの元 x, y が演算 ∗ のもと（互いに）交換するまたは可換であるとは $${\displaystyle x*y=y*x}$$