事実とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/22 03:07 UTC 版)

「ガロア拡大での素イデアルの分解」の記事における「事実」の解説

上のような体の拡大が与えられると、不分岐な点は有限個しかない。 不分岐な場合には、ガロア群の作用の横断性により、上記で導入された体 Fj は、全て同型となる。言わば、有限体 F' となり、 F = A / p {\displaystyle F=A/p} を含む。数え上げると [ L : K ] / [ F ′ : F ] {\displaystyle [L:K]/[F':F]} が B での P の素因子の数に等しいことが分かる。軌道安定化公式により、この数は | G | / | D | {\displaystyle |G|/|D|} にも等しい。ここに定義により、p の 分解群である D は与えられた Pj をそれ自身へ写すことにより G の元の部分群である。すなわち、ガロア理論により L/K の次数と G の位数は等しいので、分解群 D の位数は剰余体拡大 F'/F の次数である。フロベニウス元の理論はさらに、j に対し D の元を同一視し、有限体の拡大のガロア群を生成する。 分岐する場合は、さらに惰性という現象があり、指数 e は任意の剰余体の拡大のガロア群と見なすことのできない G の元へ拡大されると解釈される。各々の分解群 D は、与えられた Pj に対し、Pj からそれ自身へ写像するが F j = B / P j {\displaystyle F_{j}=B/P_{j}} 上の恒等である自己同型を誘導する G の元 g からなる惰性群 I を含んでいる。 幾何学的な類似では、複素数や代数的閉体上の代数幾何学に対し、分解群と惰性群の概念は一致する。与えられたガロア分岐被覆に対し、前像(preimage)の同じ数を持つ点は有限個しかない。 ガロア的ではない拡大の素因子の分解は、始めは、分解体、つまり、いくらか大きなガロア拡大の研究から始めることができる。例えば、三次拡大（英語版）(cubic field)は普通、それらを含む次数 6 の体により正規化(regulated)されている。

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