Lemat Yonedy

Lemat Yonedy – podstawowe narzędzie w wielu zagadnieniach teorii kategorii i w jej zastosowaniach do innych dziedzin matematyki, zwłaszcza do geometrii algebraicznej. Lemat ten dotyczy funktorów reprezentowalnych poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami) i opisuje ogólną postać transformacji naturalnych tych funktorów. Stosuje się go m.in. przy zanurzaniu danej kategorii w kategorię funktorów oraz przy pewnych zagadnieniach jednoznacznej faktoryzacji.

Sformułowanie lematu Yonedy

Załóżmy, że ${\mathfrak {A}}$ jest kategorią lokalnie małą. Zbiór morfizmów $X\to Y$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ będziemy oznaczać symbolem $\mathrm {Hom} (X,Y).$ Symbolem $\mathrm {Hom} (A,-)$ oznaczymy kowariantny funktor główny, przyporządkowujący każdemu morfizmowi $g\colon X\to Y$ indukowane przekształcenie $\mathrm {Hom} (A,g)$ zbioru $\mathrm {Hom} (A,X)$ w zbiór $\mathrm {Hom} (A,Y)$ określone wzorem $\mathrm {Hom} (A,g)(\lambda )=g\circ \lambda$ dla $\lambda \in \mathrm {Hom} (A,X).$

Lemat Yonedy. Załóżmy, że $A$ jest ustalonym obiektem w $\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},$ $F\colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {Set}$ jest funktorem kowariantnym, a $\Phi =\{\Phi _{X}\}_{X\in {\mathrm {Ob} }{\mathfrak {A}}}$ jest transformacją naturalną $\Phi _{X}\colon {\mathrm {Hom} }(A,X)\to F(X)$ funktora $\mathrm {Hom} (A,-)$ w funktor $F.$ Wówczas istnieje dokładnie jeden element $u\in F(A)$ taki, że

$\Phi _{X}(f)=F(f)(u)$ dla $f\in \mathrm {Hom} (A,X),$

(1)

gdzie element $u$ dany jest wzorem

$u=\Phi _{A}({\mathrm {id} }_{A}).$

(2)

Odwrotnie, jeśli $F\colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {Set}$ jest dowolnym funktorem kowariantnym, $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}$ i określimy element $u$ wzorem (2) to (1) wyznacza transformację naturalną $\Phi _{X}\colon \mathrm {Hom} (A,X)\to F(X).$ Ponadto przyporządkowanie $\Phi \leftrightarrow u$ jest wzajemnie jednoznaczne.

Proof of Yoneda’s lemma

Na powyższym schemacie diagram zewnętrzny ilustruje złożenia morfizmów (jest przemienny na mocy definicji transformacji naturalnej), a diagram wewnętrzny ilustruje przyporządkowania elementów.

Dowód lematu Yonedy polega na bezpośrednim sprawdzeniu ujawniających się tu zależności.

Kontrawariantna wersja lematu Yonedy dotyczy kontrawariantnego funktora głównego $\mathrm {Hom} (-,A).$ Rozumowania są analogiczne.

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].