Лема Йонеди

В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.

Загальний випадок леми

У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається

$h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-).$

$h^{A}$ переводить об'єкт $X$ у множину морфізмів $\mathrm {Hom} (A,X),$ а морфізм $f\colon X\to Y$ у морфізм $f\circ -$ (композицію із $f$ зліва) що переводить $g$ із $\mathrm {Hom} (A,X)$ у морфізм $f\circ g$ у $\mathrm {Hom} (A,Y)$. Тобто,

$h^{A}(f)(g)=f\circ g$.

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з h^A в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):

$\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A).$

Для даного натурального перетворення Φ з h^A в F відповідний елемент F(A) це $u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})$, тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму $f\colon A\to B$ виконується рівність $Ff(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\Phi \circ h^{f})_{B}(\mathrm {id} _{B})$(де $\Phi \circ h^{f}$ — натуральне перетворення із $h^{B}$у F, для якого для $g\in \mathrm {Hom} (B,X)$визначається $(\Phi \circ h^{f})(g)=\Phi _{A}(g\circ f)\in F(X)$) і для довільного морфізму $\theta \colon F\to G$функторів із C в Set виконується рівність $\theta _{A}(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\theta \circ \Phi )_{A}(\mathrm {id} _{A}).$

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор

$h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A),$

що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

$\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A).$

Доведення

Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Proof of Yoneda's lemma

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається $\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u$, оскільки для будь-якого морфізма f: A → X

$\Phi _{X}(f)=(Ff)u.$

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F(A). Справді нехай f: A → X і g: X → Y — деякі морфізми. Тоді $h_{A}(g)$ переводить $f\in \mathrm {Hom} (A,X)$у $g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,Y)$і $\Phi _{X}(f)=(Ff)u$, а також $\Phi _{Y}(g\circ f)=F(g\circ f)u=Fg\circ (Ff)u=(Fg)\Phi _{X}(f)$. Тому $\Phi _{Y}(h^{A}(g)(f))=(Fg)\Phi _{X}(f)$і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей $(\Phi \circ h^{f})_{B}(\mathrm {id} _{B})=\Phi _{B}(\mathrm {id} _{B}\circ f)=Ff(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))$згідно з означенням натурального перетворення $\Phi \circ h^{f}$ і заданням Φ через $\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u$. Рівність $\theta _{A}(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\theta \circ \Phi )_{A}(\mathrm {id} _{A})$випливає з того, що $\theta ,\Phi$є морфізмами функторної категорії Set^C і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Вкладення Йонеди

Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що

$\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).$

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор h^A = Hom(A,-) і кожен морфізм f: B → A у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h^- з C в Set^C (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

$h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.$

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h^- — цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення C^op в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом Set^C. Тоді можна ввести F для якого $F'(A)=\mathrm {Nat} (h^{A},F).$Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом Set^C.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди

$\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).$

Отже, h_- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

$h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.$

Зображувані функтори

Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором $h^{A}$. За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента $u\in F(A)$ для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента $x\in F(B)$ існує єдиний морфізм f: A → B для якого $Ff(u)=x.$

Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент $u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})$ і тоді для морфізма f: A → B виконується рівність $\Phi _{B}(f)=(Ff)u.$Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення $\Phi _{B}:\mathrm {Hom} (A,B)\to F(B)$буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але $\Phi _{B}(f)=(Ff)u,$тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента $x\in F(B)$ існує єдиний морфізм f: A → B для якого $Ff(u)=x,$ що і треба було довести.

Література

• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
• Freyd, Peter (1964), Abelian categories, Harper's Series in Modern Mathematics (вид. 2003 reprint), Harper and Row, Zbl 0121.02103, архів оригіналу за 25 лютого 2021, процитовано 8 жовтня 2018.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.