Granica odwrotna

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza.

Definicja

Rodzinę $S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}$ nazywamy systemem odwrotnym, gdy

• $\Sigma$ jest zbiorem skierowanym przez relację $\leqslant ,$
• dla każdego $\sigma ,$ $X_{\sigma }$ jest obiektem ustalonej kategorii ${\mathcal {C}},$
• dla wszystkich $\sigma ,\varrho \in \Sigma$ o tej własności, że $\sigma \leqslant \varrho$ $\pi _{\varrho }^{\sigma }$ jest morfizmem $X_{\sigma }\to X_{\varrho }$ w kategorii ${\mathcal {C}},$
• dla wszystkich $\sigma ,\varrho ,\tau \in \Sigma ,$ jeżeli $\tau \leqslant \varrho \leqslant \sigma ,$ to $\pi _{\tau }^{\varrho }\pi _{\varrho }^{\sigma }=\pi _{\tau }^{\sigma }$
• dla każdego $\sigma \in \Sigma ,$ $\pi _{\sigma }^{\sigma }={\mbox{id}}_{X_{\sigma }}.$

System odwrotny $S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \},$ w którym $\Sigma$ jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór $\Sigma$ pisząc po prostu $S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma }\}$). Przekształcenia $\pi _{\varrho }^{\sigma }$ nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego $S.$ Element

$(x_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }\in \prod _{\sigma \in \Sigma }X_{\sigma }$

nazywa się nicią w systemie odwrotnym $S,$ jeżeli

$\pi _{\varrho }^{\sigma }(x_{\sigma })=x_{\varrho }$

dla wszystkich $\sigma ,\varrho$ o tej własności, że $\varrho \leqslant \sigma .$

Granicą odwrotną systemu odwrotnego $S$ nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów $X_{\sigma }$) i oznacza przez

$\lim _{\longleftarrow }\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}.$

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni $X_{\sigma }$ (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni typu T_i jest przestrzenią typu $T_{i}$ dla $i\leqslant 3{\tfrac {1}{2}}.$
• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni zerowymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zerowymiarową.
• bazą granicy odwrotnej systemu $\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}$ jest rodzina zbiorów postaci $\pi _{\sigma }^{-1}(U_{\sigma }),$ gdzie $\sigma$ przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru $\Sigma ,$ a $U_{\sigma }$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $X_{\sigma }.$
• każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.
• każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 134–141.