요네다 보조정리

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리

${\mathcal {C}}$가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 $A\in {\mathcal {C}}$에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 ($\operatorname {Set}$는 집합의 범주).

$\hom(A,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$

$\hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)$

이 함자에서, 사상 $f\colon B\to C$의 상은 다음과 같다.

$\hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)$

$\hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g$

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 ($^{\operatorname {op} }$는 반대 범주).

$\hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$\hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)$

$\hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)$

$\hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f$

그리고 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 $A\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

$\operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)$

이 때,

• $\operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)$은 모든 자연 변환 $\Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F$들의 집합이다.
• $F(A)\in \operatorname {Set}$는 $A$의 상이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

$\Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)$

이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 ($\operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}$는 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$와 자연 변환의 범주).^:61

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)$

$-(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$

$-(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)$

즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 $(f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)$의 상은 다음과 같다.

$\operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)$

$\operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )$

$\operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)$

두 번째 함자에서, 사상 $(f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)$의 상은 다음과 같다.

$\Phi _{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)$

$\Phi _{f}=\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}$

마찬가지로, 모든 함자 $F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$ 및 대상 $A\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

$\operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)$

이 때

• $\operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)$는 자연 변환 $\Phi \colon \hom(-,A)\Rightarrow F$들의 집합이다.
• $F(A)$는 $A$의 상이다.

이 일대일 대응

$\Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)$

들은 함자

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set}$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(-,f)$

와

$-(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set}$

$-(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)$

$\Phi _{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)$

$\Phi _{f}=\Phi _{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{B}$

사이의 자연 동형을 이룬다.

증명

쌍대성에 따라, 함자 $F$가 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$인 경우를 증명하면 충분하다. ($F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$의 경우, ${\mathcal {C}}$를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 $\Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F$에 대해 $\Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})$를 생각할 수 있다. $\Phi _{A}$는 $A\to A$ 함자를 $F(A)$의 원소로 옮겨야 하고, $\operatorname {id} _{A}\colon A\to A$이므로, $\Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)$임을 알 수 있다.

이제, 모든 $u\in F(A)$에 대해 $\Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u$인 유일한 자연 변환 $\Phi$를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

자연 변환

$\Phi _{X}(f)=(Ff)u$

은 자명하게 $\Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u$를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, $\Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u$를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, $u\in F(A)$의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

요네다 매장

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 $A\in {\mathcal {C}}$와 함자 $F=\hom(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.

$\hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))$

$f\mapsto \hom(-,f)$

사실, 이는 함자 범주 $\operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$로 가는 함자

$\hom(-,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$

$\hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)$

$\hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)$

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 ${\mathcal {C}}$를 그 성질 그대로 $\operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$ 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

$\hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))$

$f\mapsto \hom(f,-)$

는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

$\hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}$

$\hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)$

$\hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)$

역사

일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.

외부 링크

• “Grothendieck functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Representable functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어). 
• “Yoneda embedding”. 《nLab》 (영어). 
• “Representable functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Enriched Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 표현 가능 함자