講義ノートの目次へ 大学一年生で学ぶ数学のうち，「解析学の基礎（微積分）」について勉強法やポイントを，図表を交えつつ分かりやすく解説。つまずきがちな微積分の全体像をつかめる。 解析学は，「微小量の厳密な理論」だ。これを学ぶ理由・価値は何なの…

講義ノートの目次へ 変分法・変分学を学ぶための，講義ノートPDF。 変分法は物理数学の必須テーマで， 「汎関数の停留点，つまり最適な関数や，最適な曲線を見つける」 「オイラー・ラグランジュ方程式を導出する」 といったテーマに役立つツールだ。 この考…

講義ノートの目次へ 結び目理論（Knot Theory）を独学で学ぶための教科書PDFを集めた。 結び目理論は，空間内の図形の性質を調べる 位相幾何学の特殊な一分野とみなせる。 数学的には，多様体や基本群，不変量としての多項式など， 代数系の用語を道具として…

講義ノートの目次へ 数学・数論の一分野で，「超越数論」を勉強するためのフリーPDFのまとめ。円周率πや，ネイピア数 e などの「超越数」を研究する分野。 超越数とは，「代数的数（＝代数方程式の解）ではない数」のことである。したがって，代数的数論の延…

講義ノートの目次へ ABC予想とは，数論のディオファントス解析の最重要問題。ABC予想の主張： 互いに素な自然数 a, b, c が a + b = c, a ＜ b を満たすとする。また，積 abc の互いに異なる素因数全体の積を Rとおく。任意の正数 e に対し， c ＞ R^{1 + e}…

講義ノートの目次へ 解決すれば１億円の懸賞金をもらえるホッジ予想の解説PDFと，レクチャーの動画。 ホッジ予想は，２１世紀の最大の難問の一つ。クレイ数学研究所が指定した「ミレニアム懸賞問題」７つの中に入っている。 その７つの中で，ホッジ予想は代…

講義ノートの目次へ フェルマー予想の証明PDFと，その概要を理解するための数論幾何の資料。 フェルマー予想とは？（フェルマー・ワイルズの定理） フェルマー予想の証明に関係した資料 フェルマー予想とは？（フェルマー・ワイルズの定理） 下記の予想のこ…

理工系の大学院で，院試の問題と解答のまとめ。とくに解答・解説つきの，学習に役立つものを選んだ。 科目は，数学・物理・情報・工学に分類。例えば物理系でも院試には数学が含まれているため，勉強の参考になる。 （１） 主に数学系 （２） 主に物理系 （…

講義ノートの目次へ 代数学の群論で，有限群論・群の表現論の講義ノートPDF。群論の基礎はこちらのノートから。 有限群論の講義ノート 日本語で読めるPDF： 有限群の表現，対称群の表現の基礎 http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/... ２０４ページ，早稲…

講義ノートの目次へ 保型形式・保形関数論（Automorphic Form）の講義ノートPDF。独学に使える，日本語と英語の資料を集めた。 保型形式や保型表現は，現代数学における代数的数論の重要な道具。かの有名な「フェルマー予想（最終定理）」や「ラマヌジャン-…

数学の「ポアンカレ予想」を理解するための資料として，動画・原論文・日本語の読み物・PDFなどをまとめた。 数学者ポアンカレによる原著と，それを解決したペレルマン氏の論文，さらにペレルマン氏が１００万ドルの賞金を辞退した件の小説など。 数学をかじ…

大学入試の数学で，名問や難問のまとめ。解答・解説付き。 受験勉強だけでなく，高校で習った数学の復習や，パズル，頭の体操に役立つ（特に難問）。 難易度は，３（標準）から５（史上最大）まである。ぜひ楽しんで解いてみよう。 目次： （難易度３）★★★：…

講義ノートの目次へ 代数的トポロジー（代数位相幾何，algebraic topology）の講義ノートPDF。独学に役立つ資料を集めた。 位相幾何学（トポロジー）は，「柔らかい幾何学」という通称を持つ。その中でも代数的トポロジーは， とくに図形が持つ代数的な構造…

数学検定の１級に合格するための情報。 数学検定１級は，理工系の大学１〜２年生なら合格できる程度のレベルだ。こういう資格試験は，学習の到達目標として参考にしやすい。 なお，「数学検定」には２種類あるので，混同しないように注意すること。 （１）「…

講義ノートの目次へ 大学の数学で勉強する，数論（Number Theory）の入門に役立つPDF。 （１）整数を扱う初等整数論と， （２）群・環・体を使った代数的数論（Algebraic number Theory） の２つに分類。 前者は，いわゆる「整数問題」というやつの体系と思…

講義ノートの目次へ 曲線や曲面の微分幾何学の講義ノート。 幾何（微分幾何）の初歩として，まずユークリッド幾何からはじめ，後になって多様体・微分形式・リーマン幾何を学べるよう準備する。 この入門段階の学習目安としては，「ガウス・ボンネの定理」（…

講義ノートの目次へ 集合と位相空間に入門するための講義ノートPDF。 大学で学ぶ「幾何学」の基礎としての，集合論および位相空間の初歩。 数とは，集合である。そして集合の各要素に対し「近さ」(距離) の概念を導入すれば，位相空間になる。何かの集合や空…

講義ノートの目次へ 数論幾何学を学ぶためのPDF。入門のための解説記事や，オンラインで入手できる教科書。 数論幾何を独学するための資料 数論幾何の教科書PDF： Arithmetic Geometry http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/librar... ５７０ページもあるPDF。ク…

講義ノートの目次へ 日本から発信された数理的手法である情報幾何を学ぶための資料。機械学習などに応用されている。無料で閲覧・学習できるマテリアルを集めた。 「情報幾何」を学ぶための資料 情報幾何の基礎となる考え方： 情報幾何学 甘利俊一 http://ci…

講義ノートの目次へ 大学の物理学の振動・波動論および物理数学のフーリエ解析学の講義ノートPDF。独学に役立つオンライン教科書を集めた。 この分野は，応用や発展がたくさんある。量子力学では全てが波だし，信号処理や建築・土木，他にも… 波動方程式の解…

講義ノートの目次へ 関数解析学の講義ノートPDF。入門用の教科書として使える資料。 関数解析は，物理や工学，ファイナンスといった応用数学の分野でも必要になる。 （関数の）正規直交基底。フーリエ級数など （量子力学で使うような）作用素 （デルタ関数…

講義ノートの目次へ ベクトル解析の講義ノートPDF。演習問題と解答つき。独学に使える資料を集めた。 大学の物理では，ベクトル場を数学的に表現する。電磁気学や流体力学では，基本的な定理を言い表すだけでも，ベクトル解析を避けて通れない。 （※電磁気学…

講義ノートの目次へ 統計学の基礎を学ぶための講義ノートPDF。 大学の入門レベルの統計学（データ分析や確率論の基礎）を，独学でマスターできるオンライン教科書や講義資料。 データがあふれる時代なので，データの扱い方を身につけよう。たくさんのデータ…

講義ノートの目次へ 偏微分方程式（Partial Differential Equations，PDE）の講義ノートPDF。熱拡散や波動方程式，電磁場のポアソン方程式，流体への応用，フーリエ解析による解法などなど。独学に使える資料を集めた。 世の中は偏微分方程式だらけ。 時間と…

講義ノートの目次へ 微分方程式の基礎を学ぶための講義ノートPDF。 独学に使えるオンライン教科書を集めた。院試対策の演習問題と解答もある。 微分方程式は，大学１年で必ず押さえておこう。そうしないとあちこちで（ほとんど全分野で！）つまづいてしまう…

講義ノートの目次へ 複素関数論の，独学用の講義ノート・PDF。院試対策の問題と解答つき。 複素函数論を学ぶ際のスタンスは， 複素解析を「使う側」（工学）と 複素解析を「証明する側」（純粋な数学） の２手に分かれる。※それぞれ「関数」と「函数」のよう…

講義ノートの目次へ ゼータ関数について勉強するための，入門用の資料。ゼータ関数を題材にした，リーマン予想（＝未解決問題）や素数定理の話を含む。 ゼータ関数は，現代数学において最も重要な関数であり，解析的整数論の要だ。またゼータの特殊値を具体…

講義ノートの目次へ グラフ理論・組み合わせ最適化の講義ノート。ネットワーク（経路系）のアルゴリズムも含む。 大学の情報科学では，「離散数学」という分野だ。以下に，「グラフ理論」と「組み合わせ最適化」の入門段階の要点を並べてみる。 最大フロー問…

講義ノートの目次へ 微分形式と，それを使った幾何学の講義ノート。 微分形式を使うと，物理学の法則を美しくシンプルに記述できる。例えば，マクスウェル方程式を微分形式で書くと・・・ これだけで済む。 また，ベクトル解析の「ストークスの定理」を微分…

講義ノートの目次へ 「積分幾何学」の講義ノート。 微分幾何学と異なり，積分幾何学は範囲が狭い。導入として，積分幾何学を使えば古典的な図形クイズを計算できるので便利だ。例えば有名な「ビュフォンの針」や「ベルトランのパラドックス」などの問題に，…