수학 에서 유리수 (有理數, 영어 : rational number )는 두 정수 의 비율 또는 분수 의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모 가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수 는 유리수이다. 유리수체의 기호는
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
몫 을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
분수체 이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.
Q
=
{
m
n
:
m
,
n
∈
Z
,
n
≠
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\colon m,n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0\right\}}
엄밀히 말해, 유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
동형 아래 유일한) 체 이다.
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
표수 는 0이다.만약 환
R
{\displaystyle R}
환 준동형
Q
→
R
{\displaystyle \mathbb {Q} \to R}
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
×
(
Z
∖
{
0
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})}
동치 관계
∼
{\displaystyle \sim }
(
m
,
n
)
∼
(
m
′
,
n
′
)
⟺
m
n
′
=
n
m
′
(
m
,
n
,
m
′
,
n
′
∈
Z
,
n
,
n
′
≠
0
)
{\displaystyle (m,n)\sim (m',n')\iff mn'=nm'\qquad (m,n,m',n'\in \mathbb {Z} ,\;n,n'\neq 0)}
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
몫집합
(
Z
×
(
Z
∖
{
0
}
)
)
/
∼
{\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))/{\sim }}
[
(
m
,
n
)
]
∼
+
[
(
m
′
,
n
′
)
]
∼
=
[
(
m
n
′
+
n
m
′
,
n
n
′
)
]
∼
{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }+[(m',n')]_{\sim }=[(mn'+nm',nn')]_{\sim }}
[
(
m
,
n
)
]
∼
⋅
[
(
m
′
,
n
′
)
]
∼
=
[
(
m
m
′
,
n
n
′
)
]
∼
{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }\cdot [(m',n')]_{\sim }=[(mm',nn')]_{\sim }}
체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원
[
(
0
,
1
)
]
∼
{\displaystyle [(0,1)]_{\sim }}
[
(
m
,
n
)
]
∼
{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }}
[
(
−
m
,
n
)
]
∼
{\displaystyle [(-m,n)]_{\sim }}
곱셈 항등원
[
(
1
,
1
)
]
∼
{\displaystyle [(1,1)]_{\sim }}
[
(
m
,
n
)
]
∼
≠
[
(
0
,
0
)
]
∼
{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }\neq [(0,0)]_{\sim }}
[
(
n
,
m
)
]
∼
{\displaystyle [(n,m)]_{\sim }}
단사 환 준동형 은 다음과 같다.
Z
↪
Q
{\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }
n
↦
[
(
n
,
1
)
]
∼
{\displaystyle n\mapsto [(n,1)]_{\sim }}
각 유리수
[
(
m
,
n
)
]
∼
{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }}
m
n
{\displaystyle {\frac {m}{n}}}
유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 1 / 3 공약수 로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분 이라고 한다. 분자와 분모가 서로소 이어서 더 이상 약분할 수 없는 분 12 / 18 2 / 3 진분수 , 작지 않은 분수를 가분수 라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수 라고 한다. 예를 들어, 11 / 9 2 / 9
무리수 는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.
유리수의 진법 전개는 유한 소수 이거나 순환 소수 이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.
7
5
=
1.4
{\displaystyle {\frac {7}{5}}=1.4}
1
3
=
0.
3
˙
=
0.333
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.{\dot {3}}=0.333\cdots }
1
6
=
0.1
6
˙
=
0.1666
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{6}}=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots }
1
7
=
0.
1
˙
4285
7
˙
=
0.142857142857
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857\cdots }
1
9
=
0.
1
˙
=
0.111
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{9}}=0.{\dot {1}}=0.111\cdots }
1
11
=
0.
0
˙
9
˙
=
0.090909
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{11}}=0.{\dot {0}}{\dot {9}}=0.090909\cdots }
1
12
=
0.08
3
˙
=
0.083333
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{12}}=0.08{\dot {3}}=0.083333\cdots }
분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈 을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 1 / 10 1 / 100 1 / 1000 1 / 9 1 / 99 1 / 999
반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수 이다.
유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.
11
9
=
[
1
;
4
,
2
]
=
1
+
1
4
+
1
2
{\displaystyle {\frac {11}{9}}=[1;4,2]=1+{\frac {1}{4+{\dfrac {1}{2}}}}}
15
11
=
[
1
;
2
,
1
,
3
]
=
1
+
1
2
+
1
1
+
1
3
{\displaystyle {\frac {15}{11}}=[1;2,1,3]=1+{\frac {1}{2+{\dfrac {1}{1+{\dfrac {1}{3}}}}}}}
734
367
=
[
2
;
5
,
3
,
7
,
3
]
=
2
+
1
5
+
1
3
+
1
7
+
1
3
{\displaystyle {\frac {734}{367}}=[2;5,3,7,3]=2+{\frac {1}{5+{\dfrac {1}{3+{\dfrac {1}{7+{\dfrac {1}{3}}}}}}}}}
분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법 을 응용하면 된다.
무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.
두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
a
b
=
c
d
⟺
a
d
=
b
c
(
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
,
b
,
d
≠
0
)
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\iff ad=bc\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\;b,d\neq 0)}
어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
a
b
<
c
d
⟺
a
d
<
b
c
(
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
,
b
,
d
>
0
)
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\iff ad<bc\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\;b,d>0)}
두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
유리수의 반수 를 구하는 공식은 다음과 같다.
−
a
b
=
−
a
b
{\displaystyle -{\frac {a}{b}}={\frac {-a}{b}}}
두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.
a
b
−
c
d
=
a
b
+
(
−
c
d
)
=
a
d
−
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}+\left(-{\frac {c}{d}}\right)={\frac {ad-bc}{bd}}}
분모의 최소 공배수 를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.
두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.
a
b
⋅
c
d
=
a
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
0이 아닌 유리수의 역수 는 다음과 같다.
(
a
b
)
−
1
=
b
a
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}
두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.
a
b
÷
c
d
=
a
b
⋅
(
c
d
)
−
1
=
a
d
b
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\right)^{-1}={\frac {ad}{bc}}}
집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
분수체 이며, 따라서
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
체 이다.
집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
표수 가 0인 가장 작은 체 이다. 즉, 표수 가 0인 체는
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
동형 인 체를 반드시 포함한다.
서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
조밀 집합 이다. 그러나
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
일대일 대응 이 가능하므로,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
가산 무한 집합 이다.
유리수체에는 표준적인 절댓값 과 p진 절댓값 을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화 는 각각 실수체 와 p진수체 이다.
복소수 자연수의 분류 유리수의 분류 실수의 분류 복소수의 분류 기타
![{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }+[(m',n')]_{\sim }=[(mn'+nm',nn')]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737ab3b5e0eb4487ec440481686ea4d26082283b)
![{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }\cdot [(m',n')]_{\sim }=[(mm',nn')]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b13ca0738eb0402841ddb5c260d3f81c7ac5b0)
![{\displaystyle [(0,1)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7572c8806b176396dead2993fedfad734e73333)
![{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe9e42756542bb9489a8b3ccc32f43bc4c72f0)
![{\displaystyle [(-m,n)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecc97d80d574fb9397c07ff9f3272e599bb9b4c)
![{\displaystyle [(1,1)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4906f557fcf1610839477c34d13c2825b2917324)
![{\displaystyle [(m,n)]_{\sim }\neq [(0,0)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cecb3e3783891928b1cb4cba99fbe8b81bff05)
![{\displaystyle [(n,m)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32fd8d19d8c8e2583604e42d387c8c9d56f703d)
![{\displaystyle n\mapsto [(n,1)]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16cc6b25a9674fcafdf91ad9cd92d235c6c11d6)
![{\displaystyle {\frac {11}{9}}=[1;4,2]=1+{\frac {1}{4+{\dfrac {1}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa5b29d62b97c770663c36d6841e30fbd20b9a5)
![{\displaystyle {\frac {15}{11}}=[1;2,1,3]=1+{\frac {1}{2+{\dfrac {1}{1+{\dfrac {1}{3}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fae85fb4385b24f79137a6d2974ad9e50d967f)
![{\displaystyle {\frac {734}{367}}=[2;5,3,7,3]=2+{\frac {1}{5+{\dfrac {1}{3+{\dfrac {1}{7+{\dfrac {1}{3}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818be9f1f6eadc6abbb5c896a7476383d1c98f9c)
