동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

정의

동치 관계

집합 $X$ 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, $X$ 위의 이항 관계 ${\sim }\subseteq X^{2}$ 이다.

(반사 관계) 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $x\sim x$
(대칭 관계) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, 만약 $x\sim y$ 라면, $y\sim x$
(추이적 관계) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, 만약 $x\sim y$ 이고 $y\sim z$ 라면 $x\sim z$

동치류와 몫집합

집합 $X$ 위에 동치 관계 $\sim$ 이 주어졌을 때, 원소 $x\in X$ 의, $\sim$ 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) $[x]_{\sim }$ 는 $x$ 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

[x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}

집합 $X$ 위에 동치 관계 $\sim$ 이 주어졌을 때, $X$ 의 $\sim$ 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) $X/{\sim }$ 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

X/{\sim }=\{[x]_{\sim }\colon x\in X\}

모임의 경우

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 $X$ 위의 동치 관계는 곱모임 $X^{2}$ 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, $X/{\sim }$ 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임 $X$ 위에 동치 관계 ${\sim }\subseteq X^{2}$ 가 주어졌다고 하자. 원소 $x\in X$ 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.^[1]^:65

[x]'_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\land (\forall z\in X\colon x\sim z\implies \operatorname {rank} y\leq \operatorname {rank} z)\}

즉, $[x]'_{\sim }$ 는 $x$ 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 $\alpha$ 라고 할 때, $[x]'_{\sim }$ 는 집합 $V_{\alpha +1}$ 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임

(X/{\sim })'=\{[x]'\colon x\in X\}

을 정의할 수 있다.^[1]^:65

성질

집합 $X$ 위에 동치 관계 $\sim$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.

X\to X/{\sim }

x\mapsto [x]

즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

집합의 분할과의 관계

집합 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 동치 관계들과 $X$ 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 $X$ 위에 동치 관계 $\sim$ 이 주어졌을 때, 몫집합 $X/{\sim }$ 은 집합의 분할이다. 즉, $X$ 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 $X$ 의 분할 ${\mathcal {P}}$ 가 주어졌다고 하자 (즉, ${\mathcal {P}}$ 는 $X$ 의 부분 집합들의 집합이며, $X$ 의 임의의 원소는 정확히 하나의 ${\mathcal {P}}$ 의 원소에 속한다). $X$ 위에 다음과 같은 이항 관계 $\sim _{\mathcal {P}}$ 를 정의하자.

x\sim _{\mathcal {P}}y\iff \exists A\in P\colon x,y\in A\qquad (x,y\in X)

그렇다면 $\sim _{\mathcal {P}}$ 는 $X$ 위의 동치 관계이다. ${\sim }\mapsto X/{\sim }$ 과 ${\mathcal {P}}\mapsto {\sim }_{\mathcal {P}}$ 는 서로 역함수이다. 즉,

{\sim }_{X/{\sim }}={\sim }

X/{\sim }_{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

순서론적 성질

집합 $X$ 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 $R\subseteq X^{2}$ 에 대하여, $R$ 를 포함하는 최소의 동치 관계 $\sim _{R}$ 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$x\sim _{R}y$
다음 조건을 만족시키는 열 $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in X$ $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in X$ 가 존재한다.
- $x_{0}=x$
- $x_{n}=y$
- $i=1,\dots ,n$ 에 대하여, $(x_{i-1},x_{i})\in R$ 이거나 $(x_{i},x_{i-1})\in R$

집합 $X$ 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 $\operatorname {Eq} (X)$ 는 완비 격자이다. $\operatorname {Eq} (X)$ 의 최소 원소는 ( $X$ 로 국한된) 등호 $=$ 이며, 최대 원소는 전체 관계 $X^{2}\subseteq X^{2}$ 이다. 동치 관계들의 집합 $\{\sim _{i}\}_{i\in I}$ 의 만남 $\bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}$ 는 교집합

(x,y)\in \bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}\iff \forall i\in I\colon x\sim _{i}y

이다. $\{\sim _{i}\}_{i\in I}$ 의 이음 $\bigvee _{i\in I}\sim _{i}$ 은 합집합 $\bigcup _{i\in I}{\sim }_{i}$ 을 포함하는 최소의 동치 관계

(x,y)\in \bigvee _{i\in I}\sim _{i}\iff \exists n\in \mathbb {N} \exists x_{0},\dots ,x_{n}\in X\exists i_{1},\dots ,i_{n}\in I\colon x=x_{0}\sim _{i_{1}}x_{1}\sim _{i_{2}}\cdots \sim _{i_{n}}x_{n}=y

이다.

동치 관계 격자 $\operatorname {Eq} (X)$ 는 항상 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이자 반모듈러 격자(영어: semimodular lattice)이다. 유한 집합 $X$ 의 경우, $\operatorname {Eq} (X)$ 는 단순 격자(영어: simple lattice, 합동 관계가 자명한 격자)이다.