이원수 (수학)

이원수(二元數, 영어: dual number)는 실수에 하나의 멱영원을 추가하여 얻는 가환환이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 $\mathbb {R}$-대수를 이루지만, 복소수와는 달리 체를 이루지 못한다.

정의

이원수는 실수에 $\epsilon ^{2}=0$인 수 $\epsilon$을 추가하여 얻는다. 엄밀히 말하자면, 이원수의 집합은 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$로 여길 수 있다. 이 경우, $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$를 $a+b\epsilon$으로 쓰자.다음과 같은 덧셈과 덧셈의 역, 곱셈을 정의할 수 있다.

$(a+b\epsilon )+(c+d\epsilon )=(a+c)+(b+d)\epsilon$

$-(a+b\epsilon )=(-a)+(-b)\epsilon$

$(a+b\epsilon )(c+d\epsilon )=ac+(bc+ad)\epsilon$

이 연산들에 따라서, 이원수의 집합은 가환환을 이룬다.

선형대수학적 표현

이원수 $a+b\epsilon$는 2×2 행렬환 $\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )$의 부분환으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a+b\epsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$

성질

이원수의 집합은 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환을 이루지만, 멱영원 $\epsilon$이 존재하므로 정역을 이루지 않는다. 이원수환은 국소환을 이루며, 유일한 극대 아이디얼은 주 아이디얼 $(\epsilon )$이다.

이원수환에서 가역원은 $a\neq 0$인 $a+b\epsilon$이며, 그 역은 다음과 같다.

$(a+b\epsilon )^{-1}=1/a-(b/a^{2})\epsilon$

이원수는 2차원 가환 결합 $\mathbb {R}$-대수를 이룬다.

응용

이원수는 물리학에서 초대칭을 다룰 때 사용된다. 이원수의 공간은 초공간의 가장 간단한 예이며, $\epsilon$은 반가환수가 된다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dual number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 복소수
• 분할복소수