1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(素數, prime number)에 대해서는
소수 (수론) 문서를 참고하십시오.
수학 의 기수법 에서 소수 (小數, 영어 : decimal )는 각각의 자리에 놓인 숫자 와 소수점 을 통해 나타낸 실수 이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.
음이 아닌 실수
r
{\displaystyle r}
r
=
r
0
.
r
1
r
2
r
3
⋯
{\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots }
여기서 각
i
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle i=0,1,2,\dots }
r
i
{\displaystyle r_{i}}
n
{\displaystyle n}
r
n
{\displaystyle r_{n}}
0
=
r
n
=
r
n
+
1
=
r
n
+
2
=
⋯
{\displaystyle 0=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }
가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
r
=
r
0
.
r
1
r
2
r
3
⋯
r
n
−
1
{\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots r_{n-1}}
엄밀히 말해, 소수는 극한 의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.
r
=
∑
n
=
0
∞
10
−
n
r
n
=
lim
n
→
∞
r
0
.
r
1
r
2
⋯
r
n
{\displaystyle r=\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n}r_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{0}.r_{1}r_{2}\cdots r_{n}}
또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.
9
=
r
n
=
r
n
+
1
=
r
n
+
2
=
⋯
{\displaystyle 9=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }
n
{\displaystyle n}
즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.
유리수 의 소수 표기는 유한하거나, 무한 하지만 순환 한다. 그 예는 다음과 같다.
1
2
=
0.5
{\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.5}
1
3
=
0.333333
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333\cdots }
무리수 의 소수 표기는 무한하며 비순환 이다.. 그 예는 다음과 같다.
2
=
1.41421356
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }
π
=
3.14159265358979323846
⋯
{\displaystyle \pi =3.14159265358979323846\cdots }
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.
소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수 (有限小數, 영어 : finite decimal )라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수 이다.
십진법 과 이십진법 에서는 만약 기약 분수 의 분모가
2
m
5
n
{\displaystyle 2^{m}5^{n}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
2
m
5
n
{\displaystyle 2^{m}5^{n}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
마찬가지로, 육진법 과 십이진법 과 십팔진법 에서는 만약 기약 분수 의 분모가
2
m
3
n
{\displaystyle 2^{m}3^{n}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
2
m
3
n
{\displaystyle 2^{m}3^{n}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수 도 게재한다.
십진법
1
/
2
=
0.5
{\displaystyle 1/2=0.5}
3
/
4
=
0.75
{\displaystyle 3/4=0.75}
1
/
5
=
0.2
{\displaystyle 1/5=0.2}
8
/
5
=
1.6
{\displaystyle 8/5=1.6}
3
/
8
=
0.375
{\displaystyle 3/8=0.375}
1
/
16
=
0.0625
{\displaystyle 1/16=0.0625}
27
/
16
=
1.6875
{\displaystyle 27/16=1.6875}
7
/
20
=
0.35
{\displaystyle 7/20=0.35}
8
/
25
=
0.32
{\displaystyle 8/25=0.32}
1
/
50
=
0.02
{\displaystyle 1/50=0.02}
11
/
64
=
0.171875
{\displaystyle 11/64=0.171875}
1
/
80
=
0.0125
{\displaystyle 1/80=0.0125}
8
/
125
=
0.064
{\displaystyle 8/125=0.064}
13
/
160
=
0.08125
{\displaystyle 13/160=0.08125}
육진법
1
/
2
=
0.3
{\displaystyle 1/2=0.3}
1
/
3
=
0.2
{\displaystyle 1/3=0.2}
3
/
4
=
0.43
{\displaystyle 3/4=0.43}
3
/
12
=
0.213
{\displaystyle 3/12=0.213}
5
/
13
=
0.32
{\displaystyle 5/13=0.32}
41
/
13
=
2.44
{\displaystyle 41/13=2.44}
11
/
20
=
0.33
{\displaystyle 11/20=0.33}
1
/
24
=
0.0213
{\displaystyle 1/24=0.0213}
43
/
24
=
1.4043
{\displaystyle 43/24=1.4043}
1
/
30
=
0.02
{\displaystyle 1/30=0.02}
12
/
43
=
0.144
{\displaystyle 12/43=0.144}
1
/
120
=
0.0043
{\displaystyle 1/120=0.0043}
15
/
144
=
0.101043
{\displaystyle 15/144=0.101043}
1
/
213
=
0.0024
{\displaystyle 1/213=0.0024}
21
/
240
=
0.04513
{\displaystyle 21/240=0.04513}
보다 기본적으로,
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수 (循環小數, 영어 : repeating decimal )라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수 이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.
십진법
1
/
3
=
0.
3
˙
=
0.333
⋯
{\displaystyle 1/3=0.{\dot {3}}=0.333\cdots }
1
/
6
=
0.1
6
˙
=
0.1666
⋯
{\displaystyle 1/6=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots }
1
/
7
=
0.
1
˙
4285
7
˙
=
0.142857142857142857
⋯
{\displaystyle 1/7=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857142857\cdots }
5
/
9
=
0.
5
˙
=
0.555
⋯
{\displaystyle 5/9=0.{\dot {5}}=0.555\cdots }
25
/
9
=
2.
7
˙
=
2.777
⋯
{\displaystyle 25/9=2.{\dot {7}}=2.777\cdots }
3
/
11
=
0.
2
˙
7
˙
=
0.272727
⋯
{\displaystyle 3/11=0.{\dot {2}}{\dot {7}}=0.272727\cdots }
8
/
27
=
0.
2
˙
9
6
˙
=
0.296296
⋯
{\displaystyle 8/27=0.{\dot {2}}9{\dot {6}}=0.296296\cdots }
1
/
48
=
0.0208
3
˙
=
0.0208333
⋯
{\displaystyle 1/48=0.0208{\dot {3}}=0.0208333\cdots }
1
/
81
=
0.
0
˙
1234567
9
˙
=
0.012345679012345679
⋯
{\displaystyle 1/81=0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}=0.012345679012345679\cdots }
육진법
1
/
5
=
0.
1
˙
=
0.111
⋯
{\displaystyle 1/5=0.{\dot {1}}=0.111\cdots }
12
/
5
=
1.
3
˙
=
1.333
⋯
{\displaystyle 12/5=1.{\dot {3}}=1.333\cdots }
1
/
11
=
0.
0
˙
5
˙
=
0.050505
⋯
{\displaystyle 1/11=0.{\dot {0}}{\dot {5}}=0.050505\cdots }
3
/
14
=
0.1
4
˙
=
0.1444
⋯
{\displaystyle 3/14=0.1{\dot {4}}=0.1444\cdots }
1
/
15
=
0.
0
˙
31345242
1
˙
=
0.03134524210313452421
⋯
{\displaystyle 1/15=0.{\dot {0}}31345242{\dot {1}}=0.03134524210313452421\cdots }
12
/
41
=
0.
1
˙
530
4
˙
=
0.1530415304
⋯
{\displaystyle 12/41=0.{\dot {1}}530{\dot {4}}=0.1530415304\cdots }
1
/
212
=
0.0024
1
˙
=
0.0024111
⋯
{\displaystyle 1/212=0.0024{\dot {1}}=0.0024111\cdots }
순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수 (非循環小數, 영어 : non-repeating decimal )라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수 이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수 가 2 와 5 ) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3 ) 이든 기타 위치 기수법 을 사용하여도 무한에 따른다.
십진 표기
2
=
1.41421356
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }
π
=
3.14159265
⋯
{\displaystyle \pi =3.14159265\cdots }
e
=
2.718281
⋯
{\displaystyle e=2.718281\cdots }
육진 표기
2
=
1.225245314
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.225245314\cdots }
π
=
3.0503300514
⋯
{\displaystyle \pi =3.0503300514\cdots }
e
=
2.41505204
⋯
{\displaystyle e=2.41505204\cdots }
이 부분의 본문은
무리수 입니다.
원주율 문서를 참고하십시오.
무리수
(무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다
실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수 의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.
실수의 소수 표기는 실수의 구성 에 쓰일 수 있다.
1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(素數, prime number)에 대해서는 소수 (수론) 문서를 참고하십시오.
이 부분의 본문은 순환 소수입니다.
