최소공배수

수론에서, 여러 개의 정수/다항식/환의 원소의 공배수(公倍數, 영어: common multiple)는 그들 모두의 배수가 되는 정수/다항식/환의 원소이다. 최소공배수(最小公倍數, 영어: least common multiple/ lowest common multiple, 약자 LCM)는 양의 공배수 가운데 가장 작은 하나이다. 유클리드 정역에서 0으로 나누기를 정의하지 않으므로, 이 정의는 오직 다루고자 하는 정수들이 0이 아닐 때 의미가 있다. 그러나 일부 저자는 $\operatorname {lcm} \{a,0\}$ 을 모든 a에 대해 0으로 정의하며, 이는 나눗셈의 격자에서 최소공배수를 최소 상한으로 간주한 것이다.

정의

두 정수 $n,m\in \mathbb {Z} :nm\neq 0$ 의 최소공배수 $\operatorname {lcm} \{n,m\}$ 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.

$n$ , $m$ 의 음이 아닌 공배수 가운데 가장 작은 하나
$n$ , $m$ 의 음이 아닌 공배수이자, $n$ , $m$ 의 모든 공배수의 약수

여러 개의 정수 $n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} :n_{k}\neq 0$ 의 최소공배수 $\operatorname {lcm} \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\}$ 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.

음이 아닌 가장 작은 공배수
음이 아닌 공배수이자, 모든 공배수의 약수
(재귀적 정의) $\operatorname {lcm} \{\operatorname {lcm} \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{k-1}\},n_{k}\}$

성질

두 정수의 최소공배수는 최대공약수와 다음과 같은 관계를 가진다.
$N_{1}=\operatorname {gcd} \{N_{1},N_{2}\}\cdot n_{1}$

$N_{2}=\operatorname {gcd} \{N_{1},N_{2}\}\cdot n_{2}$ 일 때,

$\operatorname {lcm} \{N_{1},N_{2}\}=\operatorname {gcd} \{N_{1},N_{2}\}\cdot n_{1}n_{2}$
특히, 두 서로소 정수의 최소공배수는 그 두 정수의 곱이다.
$\gcd\{N_{1},N_{2}\}=1,\ n_{1}n_{2}=N_{1}N_{2}\implies \operatorname {lcm} \{N_{1},N_{2}\}=N_{1}N_{2}$
공배수는 최소공배수의 배수와 동치이다.
$n,m\mid M\iff \operatorname {lcm} \{n,m\}\mid M$

$n_{i}\mid M\quad (i=1,\dots ,k)\iff \operatorname {lcm} \{n_{i}\}_{i=1,\dots ,k}\mid M$
약수 관계는 최소공배수를 통해 다음과 같이 기술할 수 있다.
$n\mid m\iff \operatorname {lcm} \{n,m\}=m$
소인수분해가 주어진 정수들의 최소공배수는 공통된 소인수의 최대 지수 거듭제곱의 곱이다. 두 정수의 경우, 소인수분해가
$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{t}^{e_{t}}$

m=p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots p_{t}^{f_{t}}

e_{i},f_{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}

라면, 최소공배수는

\operatorname {lcm} \{n,m\}=p_{1}^{\max\{e_{1},f_{1}\}}p_{2}^{\max\{e_{2},f_{2}\}}\cdots p_{t}^{\max\{e_{t},f_{t}\}}

이다.

계산법

두 수 a와 b의 최소공배수를 구하는 방법은 소인수 분해를 사용하는 방법이 있다.

두 수 192와 72의 최소공배수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

$192=2^{6}\times 3$

$72=2^{3}\times 3^{2}$

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 한 소인수 중에서 지수가 가장 큰 수를 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 여섯 번 3이 두 번 한 소인수 중에서 가장 큰 수를 찾아서 나왔다. 즉 $2^{6}\times 3^{2}=576$ 최소공배수가 576이라는 결론이 나온다.

응용

통분

통분은 분수끼리 더하거나 뺄 때 사용되는 기법이다. 통분 과정에서 최소공분모(=분모의 최소공배수)를 공분모로서 사용하면, 분모의 곱을 사용하는 경우보다 더 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,

{2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42}

는 최소공분모 $\operatorname {lcm} \{21,6\}=42$ 를 사용하여 계산한 것이다.

같이 보기