Triangles isométriques

Un triangle est isométrique avec un autre triangle lorsqu'il existe une isométrie (une translation, une rotation, une symétrie ou une composée de telles transformations) par laquelle il est l'image de l'autre. On parle parfois de triangles égaux.

Cela correspond à l'idée de triangles superposables. L'importance que peut avoir cette notion vient du fait qu'elle traduit une forme d'homogénéité du plan euclidien^[1].

Cas d'égalité

Les trois conditions suivantes, appelées cas d'égalité des triangles sont équivalents :

Première caractérisation

Deux triangles sont isométriques lorsque les longueurs de leurs côtés sont deux à deux égales. On peut démontrer que deux triangles isométriques sont en fait l'image l'un de l'autre par une isométrie du plan.

Seconde caractérisation

Deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles homologues de mêmes mesures.

Variante : deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont deux angles homologues de mêmes mesures et un côté correspondant de même longueur (cf. figure de droite).

Troisième caractérisation

Deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés homologues de mêmes longueurs.

Remarque : l'hypothèse que les deux côtés doivent encadrer l'angle est fondamentale (cf. figure de droite).

Démonstrations

Chez Euclide

Les cas d'égalité des triangles font l'objet des prop. 4, 7, 8 et 26 du Livre I des Éléments d'Euclide.

Pour démontrer le troisième cas, par exemple, Euclide considère deux triangles ABC et DEF tels que la longueur AB est égale à DE, la longueur AC à DF et l'angle ${\widehat {BAC}}$ à ${\widehat {EDF}}$ . Il applique alors le triangle ABC sur le triangle DEF de façon que A coïncide avec D, et la demi-droite [AB) avec la demi-droite [DE). [AB] et [DE] ayant même longueur et A coïncidant avec D, les points B et E coïncideront. Les angles ${\widehat {BAC}}$ et ${\widehat {EDF}}$ étant égaux, la demi-droite [AC) coïncidera avec la demi-droite [DF), et [AC] et [DF] ayant même longueur, C et F coïncideront.

Chez Hilbert

Il fallut attendre le XIX^e siècle pour que la démonstration d'Euclide soit critiquée. En effet, celle-ci a pour hypothèse l'existence d'une transformation isométrique envoyant [AB] sur [DE], d'une autre envoyant [AC] sur [DF] et d'une troisième envoyant l'angle ${\widehat {BAC}}$ sur l'angle ${\widehat {EDF}}$ , mais la démonstration suppose que ces trois transformations n'en forment qu'une seule. En 1899, dans ses Fondements de la géométrie, David Hilbert met en évidence la difficulté du problème en exhibant une géométrie dans laquelle les trois transformations sont différentes et pour laquelle les cas d'égalité des triangles sont faux^[2]. Hilbert traite donc les cas d'égalité des triangles de la façon suivante. Il considère comme primitive la notion de congruence (ou d'égalité) des segments et d'angles et donne les axiomes régissant cette notion. En particulier, l'un des axiomes doit relier congruence de segments et congruence d'angle, et cet axiome est constitué du troisième cas d'égalité des triangles. Ce cas cesse alors d'être un théorème chez Hilbert. Une fois cela fait, Hilbert parvient à en déduire les autres cas d'égalité.

Démonstration moderne

On se place usuellement dans un plan affine associé à un plan vectoriel euclidien, et on utilise le fait que longueur de segments et mesure des angles s'expriment au moyen du produit scalaire, et que les isométries conservent le produit scalaire. Étant donné deux triangles ABC et DEF, on définit une unique application affine envoyant A sur D, B sur E et C sur F. Les hypothèses des différents cas d'égalité des triangles permettent ensuite de montrer que cette application est une isométrie.

Voir aussi

Notes et références

↑ (en) Robin Hartshorne, Geometry, Euclid and Beyond, Springer, 2000, 528 p. (ISBN 978-0-387-22676-7, lire en ligne), p. 148.
↑ David Hilbert, Les fondements de la géométrie, Dunod (1971), rééd. Gabay (1997), annexe II.

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[1] (en) Robin Hartshorne, Geometry, Euclid and Beyond, Springer, 2000, 528 p. (ISBN 978-0-387-22676-7, lire en ligne), p. 148.

[2] David Hilbert, Les fondements de la géométrie, Dunod (1971), rééd. Gabay (1997), annexe II.

[1]

[2]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron