Triangle de Fuhrmann

Le triangle de Fuhrmann (en rouge) : $M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$.
Milieux des arcs : $M_{a},M_{b},M_{c}$

Le triangle de Fuhrmann (rouge) : $M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$ est semblable au triangle formé par les milieux des arcs associés aux côtés : $M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim M_{a}M_{b}M_{c}$

Le triangle de Fuhrmann, étudié par Wilhelm Fuhrmann (1833 - 1904), est un triangle spécial de la géométrie moderne du triangle.

Dans un triangle donné $ABC$ on désigne par $M_{a},M_{b},M_{c}$ les milieux des arcs du cercle circonscrit joignant deux sommets du triangle. Les images $M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }$ de ces points médians par les réflexions d'axes les côtés correspondants du triangle forment le triangle de Fuhrmann associé à $ABC$ . Le triangle de Furhmann est semblable au triangle formé par les points milieux des arcs, c'est-à-dire $M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim M_{a}M_{b}M_{c}$.

Le cercle circonscrit au triangle de Fuhrmann est dit cercle de Fuhrmann.

L'aire du triangle de Fuhrmann s'obtient par la formule:

$|{\text{aire}}(M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime })|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}$

Où $O$ désigne le centre circonscrit du triangle $ABC$, $R$ son rayon, $I$ le centre du cercle inscrit et $r$ son rayon. Grâce au théorème d'Euler, on a aussi $OI^{2}=R(R-2r)$. Les longueurs $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ des côtés du triangle de Fuhrmann sont données par les formules :

$a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|$

$b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|$

$c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|$

où $a,b,c$ désigne les longueurs des côtés du triangle $ABC$.

Centres du triangle de Fuhrmann

Plusieurs centres du triangle de Fuhrmann sont liés à ceux du triangle de référence $ABC$: l'orthocentre du triangle de Fuhrmann est le centre du cercle inscrit dans $ABC$, les deux triangles ont le même centre du cercle d'Euler, etc...

Cercle de Fuhrmann.

Cercle de Fuhrmann

Le triangle et le cercle de Fuhrmann (en rouge),
le point de Nagel $N$ et l'orthocentre $H$
On a alors :$|AP_{a}|=BP_{b}|=|CP_{c}|=2r$

Le cercle de Fuhrmann d'un triangle est le cercle circonscrit au triangle de Fuhrmann de ce triangle. Un de ses diamètres est le segment joignant l'orthocentre au point de Nagel du triangle de référence.

Pour un triangle de côtés de longueurs $a,b,c$ et de rayon du cercle circonscrit $R$, le rayon du cercle de Fuhrmann est égal à :

$R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}},$

qui vaut aussi la distance entre les centres des cercles circonscrit et inscrit.

Le cercle de Fuhrmann coupe les hauteurs du triangle de référence en deux points, dont l'orthocentre. Les autres points sont tous à une distance $2r$ des sommets du triangle de référence.

Le cercle de Fuhrmann est aussi appelé « cercle des huit points », car il passe par huit points remarquables du triangle, en référence à l'autre nom du cercle d'Euler, le « cercle des neuf points ». Par ailleurs, pour un triangle $ABC$ de centre du cercle inscrit $I$, le cercle de Fuhrmann est le cercle circonscrit du triangle formé par les points de Nagel des triangles $ABI,BCI,CAI$.

Le centre du cercle de Fuhrmann a pour nombre de Kimberling X₃₅₅ et admet comme coordonnées trilinéaires:

${\begin{aligned}&a\cos A-(b+c)\cos(B-C):b\cos B-(c+a)\cos(C-A):c\cos C-(a+b)\cos(A-B)\\={}&(a-b+c)\cos B+2(b+c)\cos B\cos C:(b-c+a)\cos C+2(c+a)\cos C\cos A:(c-a+b)\cos A+2(a+b)\cos A\cos B\\={}&{\frac {2a(b+c)\sec A+(-a+b+c)(b\sec A+c\sec C)}{a}}:{\frac {2b(c+a)\sec B+(-b+c+a)(c\sec B+a\sec A)}{b}}:{\frac {2c(a+b)\sec C+(-c+a+b)(a\sec C+b\sec B)}{c}}.\end{aligned}}$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fuhrmann triangle » (voir la liste des auteurs).

• (en) Nguyen Thanh Dung, « The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle », Forum Geometricorum, vol. 16,‎ 2016, pp. 299–311 (lire en ligne).
• (en) J. A. Scott, « An Eight-Point Circle », The Mathematical Gazette, vol. 86, n^o 506,‎ juillet 2002, pp. 326–328 (JSTOR 3621878)

Liens externes

• (en) Fuhrmann circle