Point de Vecten

Les points de Vecten sont deux points remarquables d'un triangle, construits à partir des trois carrés appuyés sur les côtés de ce triangle.

Ils sont ainsi nommés d'après un professeur de mathématiques français du début du XIX^e siècle, collègue de Joseph Diez Gergonne au lycée impérial de Nîmes dans les années 1810-1818, ayant étudié leurs propriétés^[1].

Point extérieur

À l'extérieur d'un triangle ABC, on élève trois carrés, de centres O_A, O_B, O_C, sur les trois côtés du triangle.

Les droites joignant les centres des carrés aux sommets opposés des triangles sont concourantes : leur point d'intersection s'appelle le point de Vecten du triangle.

Les hauteurs du triangle O_AO_BO_C sont les droites (AO_A), (BO_B) et (CO_C).
Le point H, orthocentre du triangle de Vecten O_AO_BO_C, est le premier point de Vecten ou point extérieur de Vecten du triangle ABC^[2].

Le nombre de Kimberling du point de Vecten est X(485)^[2].

Le triangle ABC et le triangle de Vecten ont même centre de gravité.

Le cercle circonscrit au triangle de Vecten est le cercle de Vecten.

Point intérieur

On peut également élever les carrés intérieurement, obtenant ainsi un second point de Vecten.

Du même côté que le triangle ABC on trace trois carrés, de centres I_A, I_B, I_C.

Les hauteurs du triangle I_AI_BI_C sont les droites (AI_A), (BI_B) et (CI_C).
Le point K, orthocentre du triangle intérieur de Vecten I_AI_BI_C, est le second point de Vecten ou point intérieur de Vecten du triangle ABC^[2].

Le nombre de Kimberling du point intérieur de Vecten est X(486)^[2].

Le triangle ABC et le triangle intérieur de Vecten ont même centre de gravité.

Le cercle circonscrit au triangle intérieur de Vecten est le cercle intérieur de Vecten.

Droite de Vecten

Les points de Vecten sont alignés et en division harmonique^{[réf. nécessaire]} avec le point de Lemoine et le centre du cercle d'Euler^[2].

Les points de Vecten sont situés sur l'hyperbole de Kiepert^[3].

Notes et références

↑ Jacques Levy et René Levy, Passeport pour la prépa : Les nombres complexes, lulu.com, 2012, 138 p. (ISBN 978-1-4716-4523-5 et 1-4716-4523-1, lire en ligne), p. 142.
↑ ^{a b c d et e} Jean-Louis Ayme, « La figure de Vecten » [archive] [PDF]
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Kiepert Hyperbola », sur MathWorld

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Vecten Points », sur MathWorld
Jean-Louis Ayme, « La figure de Vecten » [archive] [PDF]

Portail de la géométrie

[1] Jacques Levy et René Levy, Passeport pour la prépa : Les nombres complexes, lulu.com, 2012, 138 p. (ISBN 978-1-4716-4523-5 et 1-4716-4523-1, lire en ligne), p. 142.

[Ayme-2] {a b c d et e} Jean-Louis Ayme, « La figure de Vecten » [archive] [PDF]

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Kiepert Hyperbola », sur MathWorld

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[3]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron