問1.桁数で分けて考えて行きます。2002までなので4ケタは千の位が1か2かで場合分けをします。 1ケタ→1か2の2こ。 2ケタ→十の位は1か2の2つ,一の位は0か1か2の3つなので2×3=6の6こ。 3ケタ→2×3×3=18。ここで111,222の場合を除くので18-2=16です。 4ケタの千の位が1→1×3×3×3=27。ここで1000,1110,1111,1112,1222の5つを除くので27-5=22です。 4ケタの千の位が2→2000,2001,2002。ここで2000を除き2つです。 したがってこれらの合計を計算すると2+6+16+22+2=48、48番目となります。 問2.とりあえず書き出してみることが大事だと思います。書き出すことで規則性が見えてきます。 1ケタ→0,1,2 合計は0+1+2=3。 2ケタ→10,11,12,21,22,23 2ケタの1の位に着目すると0,1,2が連続していることに気が付きます。一の位と十の位で分解してみると10+0,10+1,10+2,20+0,20+1,20+2となります。 ここで十の位が1か2かで場合分けをしてみると ①十の位が1の時 (10+0)+(10+1)+(10+2)=10×3+(0+1+2)=33 10×3の3は1ケタの個数、(0+1+2)は1ケタの合計と同じであるということに気がつくことが出来ます。 ②十の位が2の時 ①の気づきを用いると20×3+3=63 ①、②より2ケタの合計は33+63=96となります。 3ケタも先程の気づきを用いて百の位が1か2かで場合分けして行きます。 ①百の位が1の時 100×9+96+3=999。ここで100に掛けている9は3+6=9{1ケタの個数(0,1,2の3こ)+2ケタの個数(10,11,12,20,21,22の6こ)}ということです。 ②百の位が2の時 200×9+96+3=1899 4ケタも千の位が1か2かで場合分けします。 ①千の位が1の時 1000×27+2898+96+3=29997 27は3(1ケタの個数)+6(2ケタの個数)+18(3ケタの個数2×3×3=18)=27ということです。 ②千の位が2の時 2000,2001,2002の合計なので2000+2001+2002=6003 それでは1ケタ、2ケタ、3ケタ、4ケタのそれぞれの合計を足し合わせます。 3+96+2898+29997+6003=38997です。ここでルールを無視していたことを思い出します。ルールによって除外される数は0,111,222,1000,1110,1111,1112,1222,2000です。よって0+111+222+1000+1111+1112+2000=7888 したがって38997-7888=31109 2002までの合計は31109となります。 問3.判明している個数を足していき、不足分から考えます。 1ケタは2、2ケタは6、3ケタは16、4ケタは2×3×3×3-10=44(10はルールによって除かれる数です。1000,1110,1111,1112,1222,2000,2111,2220,2221,2222の10個です。) よってこれまでの合計は2+6+16+44=68 99番目までに足りない個数は99-68=31こです。 次は5ケタからスタートして31番目の数が答えです。5ケタの個数をいままでのように計算していくと【2×3×3×3×3-ルールによって除外される数】という式で求められることがわかります。求めたいのは31番目なので5ケタに条件をつけて行きます。2×3×3×3×3が1×1×3×3×3(=27)になれば31に近くて良さそうに見えます。1×1×3×3×3にするためには5ケタの万の位を1、千の位を0とすればokです。10？？？において、？？？に000,111,222が入る場合はルールによって除外されるので1×1×3×3×3-3=24。31-24=7で99番目までに足りない個数は7個です。10？？？に入る最大の数は10221です(10222はルールによって除外されるため)。その次から7こ進めて行きます。11000,11001,11002,11010,11011,11012,11020,11021 11000はルールによって除外されるので答えは11021と分かります。 よって、99番目の数は11021。