Betti number - Wikipedia
In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n-dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite-dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are a
ベッãƒæ•° - Wikipedia
原文ã¨æ¯”ã¹ãŸçµæžœã€ã“ã®è¨˜äº‹ã«ã¯å¤šæ•°ã®ï¼ˆã¾ãŸã¯å†…容ã®å¤§éƒ¨åˆ†ã«å½±éŸ¿ã‚る）誤訳ãŒã‚ã‚‹ã“ã¨ãŒåˆ¤æ˜Žã—ã¦ã„ã¾ã™ã€‚æƒ…å ±ã®åˆ©ç”¨ã«ã¯æ³¨æ„ã—ã¦ãã ã•ã„。 æ£ç¢ºãªè¡¨ç¾ã«æ”¹è¨³ã§ãる方を求ã‚ã¦ã„ã¾ã™ã€‚ 代数的ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ã«ãŠã„ã¦ã€ãƒ™ãƒƒãƒæ•° (ベッãƒã™ã†ã€è‹±èªž: Betti numbers) ã¯ã€ä½ç›¸ç©ºé–“ã«å¯¾ã™ã‚‹ä¸å¤‰é‡ã§ã‚ã‚Šã€è‡ªç„¶æ•°ã«å€¤ã‚’ã‚‚ã¤ã€‚ トーラスã¯ã²ã¨ã¤ã®é€£çµæˆåˆ†(b0)ã‚’æŒã£ã¦ã„ã¦ã€äºŒã¤ã®å††çŠ¶ã®ç©´(b1)（ã²ã¨ã¤ã¯ä¸å¿ƒã‚’原点ã¨ã™ã‚‹å††ã§ã€ã‚‚ã†ã²ã¨ã¤ã¯ã€ç®¡çŠ¶ã«ãªã£ã¦ã„ã‚‹ä¸ã®å††çŠ¶ã®éƒ¨åˆ†ï¼‰ã§ã‚ã‚Šã€2-次元ã®ä¸èº«ã®ãªã„部分をä¸ã«æŒã¤ï¼ˆå†…部ãŒç®¡çŠ¶ã¨ãªã£ã¦ã„る）もã®ãŒã²ã¨ã¤(b2)ã§ã‚ã‚‹ã®ã§ã€ãƒ™ãƒƒãƒæ•°ã¯ 1(b0), 2(b1), 1(b2) ã¨ãªã‚‹ï¼Ž å³ã®å›³ã®ã‚ˆã†ãªãƒˆãƒ¼ãƒ©ã‚¹ã‚’考ãˆã‚‹ã€‚ã“ã®ãƒˆãƒ¼ãƒ©ã‚¹ã«åˆ‡ã‚Šå£ãŒå††å‘¨ã«ãªã‚‹ã‚ˆã†ã«åˆ‡ã‚Œè¾¼ã¿ã‚’ã„ã‚ŒãŸã¨ãã€ãã®çµæžœäºŒã¤ã®ãƒ”ースã«åˆ†ã‹ã‚Œãªã„切り方ãŒã€ç©´ã®ã¾ã‚ã‚Šã«ãã£ã¦ä¸€å‘¨ã™ã‚‹æ–¹æ³•ã¨ã€ç¸¦ã«
微分ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ - Wikipedia
ã“ã®è¨˜äº‹ã¯æ¤œè¨¼å¯èƒ½ãªå‚考文献や出典ãŒå…¨ã示ã•ã‚Œã¦ã„ãªã„ã‹ã€ä¸å分ã§ã™ã€‚ å‡ºå…¸ã‚’è¿½åŠ ã—ã¦è¨˜äº‹ã®ä¿¡é ¼æ€§å‘上ã«ã”å”力ãã ã•ã„。（ã“ã®ãƒ†ãƒ³ãƒ—レートã®ä½¿ã„方） 出典検索?: "微分ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦" – ニュース · 書ç±Â · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーãƒÂ · TWL (2011å¹´11月) 微分ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ï¼ˆã³ã¶ã‚“ã„ãã†ãã‹ãŒã）もã—ãã¯å¾®åˆ†ãƒˆãƒãƒã‚¸ãƒ¼ï¼ˆè‹±èªžï¼šdifferential topology）ã¯ã€å¤šæ§˜ä½“ã®å¾®åˆ†å¯èƒ½æ§‹é€ ã«æ³¨ç›®ã™ã‚‹å¹¾ä½•å¦ã®ä¸€åˆ†é‡Žã€‚微分å¯èƒ½æ§‹é€ ã¨ã„ã†ä½ç›¸ã®ã¿ã§ã¯æ±ºã¾ã‚‰ãªã„ã‚‚ã®ã‚’扱ã†ãŸã‚純粋ãªä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ã¨ã—ã¦æ‰±ã†ã®ã¯é›£ã—ã„部分もã‚ã‚‹ãŒã€ä½ç›¸ãŒä¸Žãˆã‚‰ã‚Œã¦ã„る多様体ã®å¾®åˆ†å¯èƒ½æ§‹é€ ã¤ã¾ã‚Šå¾®ç©åˆ†ãŒã§ãるよã†ãªæ§‹é€ を調ã¹ã‚‹ã¨ã„ã†ã“ã¨ã§ä½ç›¸å¤šæ§˜ä½“を調ã¹ã‚‹ã‚‚ã®ã§ã€å¾®åˆ†å¯èƒ½æ§‹é€ ã¾ã§è¾¼ã‚ãŸå¤šæ§˜ä½“ã«è·é›¢ã‚„曲率を定ã‚ã¦ç ”究を行ã†å¾®åˆ†å¹¾ä½•å¦ã«æ¯”ã¹
カーãƒãƒ«æ³•ã¸ã®æ‹›å¾…
1. カーãƒãƒ«æ³•ã¸ã®æ‹›å¾… æ£å®šå€¤ã‚«ãƒ¼ãƒãƒ«ã«ã‚ˆã‚‹ãƒ‡ãƒ¼ã‚¿è§£æž ï¼ ã‚«ãƒ¼ãƒãƒ«æ³•ã®åŸºç¤Žã¨å±•é–‹ ï¼ ç¦æ°´å¥æ¬¡ 統計数ç†ç ”究所ï¼ç·åˆç ”究大å¦é™¢å¤§å¦ 1 統計数ç†ç ”究所 公開講座 2011å¹´1月13,14æ—¥ æ¦‚è¦ â€¢ カーãƒãƒ«æ³•ã®åŸºæœ¬ – 線形データ解æžã¨éžç·šå½¢ãƒ‡ãƒ¼ã‚¿è§£æž – カーãƒãƒ«æ³•ã®åŽŸç† • カーãƒãƒ«æ³•ã®ï¼’ã¤ã®ä¾‹ – カーãƒãƒ«ä¸»æˆåˆ†åˆ†æž: PCAã®éžç·šå½¢æ‹¡å¼µ – リッジ回帰ã¨ãã®ã‚«ãƒ¼ãƒãƒ«åŒ– 2 æ¦‚è¦ â€¢ カーãƒãƒ«æ³•ã®åŸºæœ¬ – 線形データ解æžã¨éžç·šå½¢ãƒ‡ãƒ¼ã‚¿è§£æž – カーãƒãƒ«æ³•ã®åŽŸç† • カーãƒãƒ«æ³•ã®ï¼’ã¤ã®ä¾‹ – カーãƒãƒ«ä¸»æˆåˆ†åˆ†æž: PCAã®éžç·šå½¢æ‹¡å¼µ – リッジ回帰ã¨ãã®ã‚«ãƒ¼ãƒãƒ«åŒ– 3 データ解æžã¨ã¯? Analysis of data is a process of inspecting, cleaning, transforming, and modeling data with the go
射影追跡回帰 - Wikipedia
英語版記事を日本語ã¸æ©Ÿæ¢°ç¿»è¨³ã—ãŸãƒãƒ¼ã‚¸ãƒ§ãƒ³ï¼ˆGoogle翻訳）。 万ãŒä¸€ç¿»è¨³ã®æ‰‹ãŒã‹ã‚Šã¨ã—ã¦æ©Ÿæ¢°ç¿»è¨³ã‚’用ã„ãŸå ´åˆã€ç¿»è¨³è€…ã¯å¿…ãšç¿»è¨³å…ƒåŽŸæ–‡ã‚’å‚ç…§ã—ã¦æ©Ÿæ¢°ç¿»è¨³ã®èª¤ã‚Šã‚’訂æ£ã—ã€æ£ç¢ºãªç¿»è¨³ã«ã—ãªã‘ã‚Œã°ãªã‚Šã¾ã›ã‚“。ã“ã‚ŒãŒæˆã•ã‚Œã¦ã„ãªã„å ´åˆã€è¨˜äº‹ã¯å‰Šé™¤ã®æ–¹é‡G-3ã«åŸºã¥ãã€å‰Šé™¤ã•ã‚Œã‚‹å¯èƒ½æ€§ãŒã‚ã‚Šã¾ã™ã€‚ ä¿¡é ¼æ€§ãŒä½Žã„ã¾ãŸã¯ä½Žå“質ãªæ–‡ç« を翻訳ã—ãªã„ã§ãã ã•ã„。もã—å¯èƒ½ãªã‚‰ã°ã€æ–‡ç« を他言語版記事ã«ç¤ºã•ã‚ŒãŸæ–‡çŒ®ã§æ£ã—ã„ã‹ã©ã†ã‹ã‚’確èªã—ã¦ãã ã•ã„。 å±¥æ´ç¶™æ‰¿ã‚’è¡Œã†ãŸã‚ã€è¦ç´„欄ã«ç¿»è¨³å…ƒã¨ãªã£ãŸè¨˜äº‹ã®ãƒšãƒ¼ã‚¸å・版ã«ã¤ã„ã¦è¨˜è¿°ã™ã‚‹å¿…è¦ãŒã‚ã‚Šã¾ã™ã€‚記述方法ã«ã¤ã„ã¦ã¯ã€Wikipedia:翻訳ã®ã‚¬ã‚¤ãƒ‰ãƒ©ã‚¤ãƒ³#è¦ç´„欄ã¸ã®è¨˜å…¥ã‚’å‚ç…§ãã ã•ã„。 翻訳後ã€{{翻訳告知|en|Projection pursuit regression|…}}をノートã«è¿½åŠ ã™ã‚‹ã“ã¨ã‚‚ã§ãã¾ã™ã€‚ Wikipedia:翻訳ã®ã‚¬ã‚¤ãƒ‰ãƒ©ã‚¤ãƒ³ã«ã€ã‚ˆã‚Šè©³ç´°ãªç¿»
多様体å¦ç¿’サーベイ
多様体å¦ç¿’紹介 ä¸å·ç ”機械å¦ç¿’勉強会 2008/6/19 å‰ç”° 稔（ä¸å·ç ”） ※数å¦çš„ãªéƒ¨åˆ†ã¯ã„ã„åŠ æ¸›ãªã®ã§ã”注æ„下ã•ã„ å‚考文献 • “Algorithms for manifold learningâ€, Lawrence Cayton, UCSD tech report CS2008â€0923 • “Robust Euclidean Embeddingâ€, Lawrence Cayton, Sanjoy Dasgupta, ICML 2006 “Algorithms for manifold learningâ€, L. Cayton, UCSD tech report CS2008â€0923 多様体ã¨ã¯ï¼Ÿï¼ˆæ„Ÿè¦šçš„説明） • 見ã‹ã‘ã¯é•ã†ãŒã€å®Ÿè³ªçš„ã«ã¯d次元ユーク リッド空間ã§è¡¨ç¾ã§ãるよã†ãªå›³å½¢ • 「局所的ã«åœ°å›³ãŒæ›¸ã‘るよã†ãªå›³å½¢ã€ã¨ã‚‚言㈠る（例：地çƒè¡¨é¢ï¼‰ 3次
多様体 - Wikipedia
多様体ã®å®šç¾©ã§é‡è¦ãªç‚¹ã¯ã€å¤šæ§˜ä½“ã®ä¸Šã«ã„ã‹ã«ã—ã¦åº§æ¨™ç³»ã‚’貼り付ã‘ã‚‹ã‹ï¼Ÿã¨ã„ã†ã“ã¨ã¨ã€ã©ã®ã‚ˆã†ãªåº§æ¨™ç³»ã‚’用ã„ãŸã¨ã—ã¦ã‚‚計算ã«é•ã„ãŒç¾ã‚Œãªã„よã†ã«ã™ã‚‹ã“ã¨ã§ã‚る。多様体ã¯è¨ˆç®—ã—ãŸã„ã¨ãã«åº§æ¨™ã‚’å°Žå…¥ã§ãã€ã—ã‹ã‚‚ã©ã®ã‚ˆã†ãªåº§æ¨™ç³»ã§è¨ˆç®—ã—ãŸã¨ã—ã¦ã‚‚é•ã„ãŒãªã„ã€ã™ãªã‚ã¡åº§æ¨™ç³»ã«ä¾å˜ã—ãªã„ã¨ã„ã†éžå¸¸ã«æ‰±ã„ã‚„ã™ã„性質ãŒè¿½æ±‚ã•ã‚ŒãŸå›³å½¢ã§ã‚る。 ã“ã“ã§ã„ã†è¨ˆç®—ã¨ã¯é–¢æ•°ã‚„ベクトルã€ãれらã®å¾®åˆ†ã€ç©åˆ†ãªã©ã®ãƒ¦ãƒ¼ã‚¯ãƒªãƒƒãƒ‰ç©ºé–“ã®ä¸Šã§æ™®é€šã«è¡Œã‚ã‚Œã¦ã„るよã†ãªåº§æ¨™ã‚’用ã„ãŸè¨ˆç®—ã®ã“ã¨ã§ã‚る。 åŒç›¸å†™åƒ φ ã¨ãã®é€†å†™åƒ φ−1 ã§å¯¾å¿œä»˜ã‘られãŸï¼ˆåº§æ¨™ã®ç„¡ã„ï¼‰é›†åˆ U ã¨ï¼ˆåº§æ¨™ã®ã‚ã‚‹ï¼‰é›†åˆ U ' M ã‚’ä½ç›¸ç©ºé–“ã¨ã™ã‚‹ã€‚M ã®é–‹é›†åˆ U ã«å¯¾ã—ã¦ã€m 次元ユークリッド空間ã®é–‹é›†åˆ U ' ã¸ã® åŒç›¸å†™åƒ を局所座標系 (local coordinate system) ã‚ã‚‹ã„ã¯ï¼ˆå±€æ‰€ï¼‰ãƒãƒ£ãƒ¼ãƒˆ (chart) ã¨ã„ã†ã€‚ a
Persistent Homology
ç”» åƒ èª è˜ ã‚’ 計 ç®— æ©Ÿ 㧠行 ãªã†ãŸã‚ã« Edelsbrunner 㨠Letscher 㨠Zomorodian [ ELZ02 ] ã«ã‚ˆã‚Š 定 義 ã•ã‚ŒãŸã‚‚ã®ã§ persistent homology 㨠呼 ã°ã‚Œã‚‹ã‚‚ã®ãŒã‚ã‚‹ 。 Gunnar Carlsson ã‚‚ã‹ã‹ã‚ 㣠ã¦ã„ã‚‹ [ ZC05 ] よã†ã§ã‚ã‚‹ 。 ç¾åœ¨ ã§ã¯ å¿œ 用 トãƒãƒã‚¸ ー 㮠主 è¦ ãª é“ å…· 㮠一 ã¤ã«ãª 㣠ã¦ã„ã‚‹ 。 2012 å¹´ ã® Edinburgh ã§ã® å¿œ 用 ãŠã‚ˆã³ 計 ç®— トãƒãƒã‚¸ ー 㮠集 会 ã§ã¯ , 8 割 ãらã„㮠講 æ¼” 㧠使 ã‚ã‚Œã¦ã„ ãŸã‚ˆã†ã« æ€ ã† ã€‚ ã㮠後 å‚ åŠ ã—㟠応 用 トãƒãƒã‚¸ ー 㮠集 会 ã§ã‚‚ , ã»ã¨ã‚“ã©ã® 講 æ¼” 㯠persistent homology ã« é–¢ ã™ã‚‹ã‚‚ã®ã 㣠㟠。 ãã® ç† ç”± 㮠一 ã¤ã¯ , 実 éš› ã«
ホモãƒã‚¸ãƒ¼ã¨ãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ーã®é•ã„ã£ã¦ä½•ã§ã™ã‹ï¼Ÿ - ä½è—¤è‚‡å…ˆç”Ÿã®ã€Žä½ç›¸å¹¾ä½•ã€ï¼ˆå²©æ³¢æ›¸åº—）ã®å†’é ã«ã¯ã“ã†æ›¸ã‹ã‚Œã¦ã„ã¾ã™ã€‚「ä½ç›¸å¹¾ä½•ã¯ã€ã¤ãªãŒã£... - Yahoo!知æµè¢‹
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1343207768 ä½è—¤è‚‡å…ˆç”Ÿã®ã€Žä½ç›¸å¹¾ä½•ã€ï¼ˆå²©æ³¢æ›¸åº—）ã®å†’é ã«ã¯ã“ã†æ›¸ã‹ã‚Œã¦ã„ã¾ã™ã€‚ 「ä½ç›¸å¹¾ä½•ã¯ã€ã¤ãªãŒã£ã¦ã„ã‚‹ã‹ã€é›¢ã‚Œã¦ã„ã‚‹ã‹ã¨ã„ã†æœ¬è³ªçš„ãªé•ã„ã®ã¿ã‚’見ã¤ã‘ã¦ã„ã‚ã„ã‚ãªå›³å½¢ã‚’分類ã™ã‚‹ã€‚ 図形ã®ç©´ã®æ•°ã‚’１コã€ï¼’コã¨æ•°ãˆã‚‹ã®ã¯ä¸€ã¤ã®è¡¨ç¾ã§ã‚ã‚ã†ã€‚ã¾ãŸç©´ã¨ã¯ä½•ã§ã€ç©´ã®æ•°ã¯ã©ã®ã‚ˆã†ã«æ•°ãˆã‚‰ã‚Œã‚‹ã‚‚ã®ã§ã‚ã‚ã†ã‹ã€‚実ã¯ã€ãれを数å¦çš„ã«èª¬æ˜Žã™ã‚‹ã®ãŒãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ー群ã€ãƒ›ãƒ¢ãƒã‚¸ãƒ¼ç¾¤ã€ã‚³ãƒ›ãƒ¢ãƒã‚¸ãƒ¼ç¾¤ã§ã‚ã‚Šã€ã•ã‚‰ã«å›³å½¢ã®æ›²ãŒã‚Šå…·åˆã®ç¨‹åº¦ã‚’表ã™ã®ãŒç‰¹æ€§é¡žã§ã‚る。直感的ã«ã„ãˆã°ã€i次元ã®ãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ー群ã¯ã€i次元ã®â€œä¸¸ã„ç©´â€ã®æ§˜åを見ã¦ãŠã‚Šã€i次元ã®ãƒ›ãƒ¢ãƒã‚¸ãƒ¼ç¾¤ã¯ã€i次元ã®â€œéƒ¨å±‹â€ã®æ•°ã‚’調ã¹ã¦ã„ã‚‹ã¨ã„ã†ã“ã¨ãŒã§ãã‚‹ã§ã‚ã‚ã†ã€‚〠ä½ç›¸å¹¾ä½•ã®å…¥é–€ã§ã¾ãšå‹‰å¼·ã™ã‚‹ã®ã¯ãƒ›ãƒ¢ãƒã‚¸ãƒ¼ã¨åŸºæœ¬ç¾¤ã§ã™ã。基本群ã¯ãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ー
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ホモãƒã‚¸ãƒ¼ (æ•°å¦) - Wikipedia
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ホモトピー - Wikipedia
æ•°å¦ã«ãŠã‘るホモトピー (homotopy) ã¨ã¯ã€ç‚¹ã‚„ç·šã‚„é¢ãªã©ã®å¹¾ä½•å¦çš„対象ã€ã‚ã‚‹ã„ã¯ãれらã®é–“ã®é€£ç¶šå†™åƒãŒé€£ç¶šçš„ã«ç§»ã‚Šã‚ã†ã¨ã„ã†ã“ã¨ã‚’定å¼åŒ–ã—ãŸä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ã«ãŠã‘る概念ã®ã²ã¨ã¤ã§ã‚る。ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ã§ã¯ã€2 ã¤ã®å¯¾è±¡ A 㨠X ã¨ã®é–¢ä¿‚ã®ã†ã¡ã€é€£ç¶šçš„ãªå¤‰å½¢ã«ã‚ˆã£ã¦ä¿ãŸã‚Œã‚‹ã‚‚ã®ã‚’å•é¡Œã¨ã™ã‚‹ã“ã¨ãŒå¤šã„。ã“れらã®é–¢ä¿‚ã¯ãµã¤ã†é€£ç¶šå†™åƒ A → X を通ã—ã¦å®šç¾©ã•ã‚Œã€ãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ーã®æ¦‚念ã¯é€£ç¶šçš„ã«å¤‰å½¢ã™ã‚‹é€£ç¶šå†™åƒã®æ—ã«ã‚ˆã£ã¦å®šå¼åŒ–ã•ã‚Œã‚‹ã€‚ホモトピー的ãªç¨®ã€…ã®ä¸å¤‰é‡ã¯ä½ç›¸å¹¾ä½•å¦ã®ç ”究ã«ãŠã‘る基本的ãªé“å…·ã¨ãªã‚‹ã€‚ 考察ã—ã¦ã„る幾何å¦çš„対象ã«ã€Œç©´ã€ãŒé–‹ã„ã¦ã„ã‚Œã°ã€ç«¯ã‚’固定ã•ã‚ŒãŸæ›²ç·šã¯ãれを越ãˆã¦é€£ç¶šçš„ã«å¤‰å½¢ã™ã‚‹ã“ã¨ãŒã§ããªã„。ã—ãŸãŒã£ã¦ã€ãƒ›ãƒ¢ãƒˆãƒ”ーã«ã‚ˆã£ã¦ã€Œç©´ã€ã®æœ‰ç„¡ã‚„ã€å˜ç´”ãªæ§‹æˆè¦ç´ ã«åˆ†è§£ã—ãŸã¨ãã®ãれらã®çµ„ã¿åˆã‚ã›çš„ãªã¤ãªãŒã‚Šå…·åˆã¨ã„ã£ãŸæ§‹é€ を調ã¹ã‚‹ã“ã¨ãŒã§ãる。ホモトピーãŒå¨åŠ›ã‚’発æ®ã™ã‚‹ã®ã¯ã€ç©ºé–“や写
サイトタイトル
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Morse theory - Wikipedia
"Morse function" redirects here. For anharmonic oscillators, see Morse potential. In mathematics, specifically in differential topology, Morse theory enables one to analyze the topology of a manifold by studying differentiable functions on that manifold. According to the basic insights of Marston Morse, a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse
モースç†è«– - Wikipedia
原文ã¨æ¯”ã¹ãŸçµæžœã€ã“ã®è¨˜äº‹ã«ã¯å¤šæ•°ã®ï¼ˆã¾ãŸã¯å†…容ã®å¤§éƒ¨åˆ†ã«å½±éŸ¿ã‚る）誤訳ãŒã‚ã‚‹ã“ã¨ãŒåˆ¤æ˜Žã—ã¦ã„ã¾ã™ã€‚æƒ…å ±ã®åˆ©ç”¨ã«ã¯æ³¨æ„ã—ã¦ãã ã•ã„。 æ£ç¢ºãªè¡¨ç¾ã«æ”¹è¨³ã§ãる方を求ã‚ã¦ã„ã¾ã™ã€‚ 微分トãƒãƒã‚¸ãƒ¼ã«ãŠã„ã¦ã€ãƒ¢ãƒ¼ã‚¹ç†è«–（モースりã‚ã‚“ã€è‹±: Morse theory）ã¯ã€å¤šæ§˜ä½“上ã®å¾®åˆ†å¯èƒ½å‡½æ•°ã‚’ç ”ç©¶ã™ã‚‹ã“ã¨ã«ã‚ˆã‚Šã€å¤šæ§˜ä½“ã®ä½ç›¸çš„性質ã®åˆ†æžã‚’å¯èƒ½ã¨ã™ã‚‹ã€‚マーストン・モース（英語版） (Marston Morse) ã®åŸºæœ¬çš„ãªè¦‹æ–¹ã«å¾“ã†ã¨ã€å¤šæ§˜ä½“上ã®å…¸åž‹çš„ãªå¾®åˆ†å¯èƒ½å‡½æ•°ã¯ãã®ä½ç›¸çš„性質を極ã‚ã¦ç›´æŽ¥çš„ã«åæ˜ ã™ã‚‹ã€‚モースç†è«–ã¯ã€å¤šæ§˜ä½“上ã®CWæ§‹é€ ã‚„ãƒãƒ³ãƒ‰ãƒ«åˆ†è§£ï¼ˆè‹±èªžç‰ˆï¼‰ã‚’見ã¤ã‘ãŸã‚Šã€å¤šæ§˜ä½“ã®ãƒ›ãƒ¢ãƒã‚¸ãƒ¼ã®æœ¬è³ªçš„ãªæƒ…å ±ã‚’ã‚‚ãŸã‚‰ã™ã€‚ モース以å‰ã¯ã€ã‚¢ãƒ¼ã‚µãƒ¼ãƒ»ã‚±ã‚¤ãƒªãƒ¼ (Arthur Cayley) ã¨ã‚¸ã‚§ãƒ¼ãƒ ズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) ãŒãƒˆãƒã‚°ãƒ©ãƒ•ã‚£ãƒ¼ã®è„ˆçµ¡ã§ã€ãƒ¢ãƒ¼ã‚¹ç†
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