省略記法 座標変換の計算というのは似たような記号を沢山書き並べなくてはならないので非常に面倒くさい.ちなみにこれは前回やった共変ベクトルの変換式だ. 前回はイメージを描くことを重視したので,座標変換の規則を書く時にわざわざ,,成分についての 3 通りの式を並べて書いたが,解析力学でもやったようにベクトルの成分をのように添え字を使って区別してやり,さらにこれをのように表して「には 1 ～ 3 の数字が入ります」と決めておけば,式は一つ書くだけで十分だ. 添え字を導入して記号を使えば,さらに簡略化して書くことが出来る. こうしておけば「,にはそれぞれ 1 ～ 3 の数字が入るとします」と言う代わりに「0 ～ 3 の数字が入るとします」とするだけで話を 4 次元に拡張できて便利なわけだ. しかし,簡略化はもっと極端なところまで進む.記号も書くのをやめてしまおうというのである.「無茶な！！」と思う

ベクトルには位置ベクトル,速度ベクトル,電場ベクトルなど色々あって,座標変換するとその成分が変更を受けることになるわけだが,その時にどのようなルールで変換されるかによって二通りに分類される. 一つが「反変ベクトル」であり,もう一つが「共変ベクトル」である.いや,口が下手で申し訳ない.どちらのルールにも従わないベクトルもあるので,全てのベクトルがこのどちらかに分類されるというわけではない. 反変ベクトルの方が身近なのでこちらから説明しよう.例えば位置の微小変化を表すベクトルを考える.これを別の座標系で表したい時には次のような座標変換の計算をすることだろう.これは多変数の微積分の基礎なので,分からなければあまり悩まずに受け入れるか,その辺りの教科書に立ち返るのがいいだろう. これと同じ変換規則を持つものは全て「反変ベクトル」と呼んでやろうというわけだ.「反変」などという呼び方をするのは次のよう

←前の記事　後の記事→ 物理でよく用いられる「テンソル」の定義を解説した後，テンソルの例として，反変ベクトル・共変ベクトル・スカラー・Kroneckerのデルタ・交代テンソルを紹介します。 座標 xμx^\muxμ から任意の座標 xμ′x^{\mu'}xμ′ へと座標変換することを考える。座標 xμx^\muxμ における数の組 TTT と，座標 xμ′x^{\mu'}xμ′ における数の組 TTT との間に Tγ′⋯δ′α′⋯β′=∂xα′∂xα⋯∂xβ′∂xβ⋅∂xγ∂xγ′⋯∂xδ∂xδ′Tγ⋯δα⋯β T^{\alpha'\cdots\beta'}_{\qquad\gamma'\cdots\delta'} = \dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}} \cdots \dfrac{\partial x^{\beta'}}{\