旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました： arxiv.org 論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのように という表示を持つ実数であり（ここでは自然数は正の整数を意味するものとします）、有理数ではない実数のことを無理数といいます。 高校数学でも証明込みで学ぶことと思いますが、無理数の典型例としては があげられます。こ

$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]

NHK で放映された『笑わない数学』という番組の次の回が話題になっていた． www.nhk.jp 企画意図としては「\(1+1=2\) という式を通して数学基礎論という分野を紹介する」というものだったのだが，怪しい説明や誤解を招く説明，端的に誤っている説明があった．というか，全体を通してそういうものがとても多かった．どう少なく見積もっても番組の内容の半分以上がそういうものになっている．正直，全然笑えない．笑わないのではなく笑えない． そういった説明に注意喚起を促し，簡単にだが訂正をするための記事を以前書いた．その記事は速報性を重視して書いており，「ここが怪しい」「ここが間違っている」ということだけを伝えることを目的としていたため，詳細や「具体的にどう直すべきだったのか」という点の記述が不十分であった．というか，一部わたしも素でまちがったこといくつか書いちゃった（訂正・取り消し線による削除済

Innovative Tech： このコーナーでは、テクノロジーの最新研究を紹介するWebメディア「Seamless」を主宰する山下裕毅氏が執筆。新規性の高い科学論文を山下氏がピックアップし、解説する。Twitter: ＠shiropen2 英国の数学者らと、カナダのウォータールー大学と米アーカンソー大学に所属する研究者らが発表した論文「An aperiodic monotile」（プレプリント）は、繰り返しパターンを作らず、2次元の表面を無限に敷き詰めることができる単一のタイル形状を発見した研究報告である。 このような図形を非周期的なタイルと呼び、2次元の平面にタイルを隙間なく敷き詰めるが決して周期的ではない形状を指す。 非周期的なタイルの最初の集合は、1966年に発見された2万種類以上のタイルの組み合わせだった。その後、タイルの種類を減らす方向に研究が進んだ結果、最も有名な非周期的なタ

どうも、世間の浮かれムードについていけず滅入り苦しむ108Hassiumです。 以前、こんな記事を書きました。 この記事の最後に書いたように、研究に進展があったので続きを書きます。 復習前回の記事を読むのが面倒な人のために前回の内容を軽くまとめます。 まず、有理関数の次数を「分子の次数-分母の次数」と定義しました。 例えば$${\frac{z}{z^2-1}}$$は-1次、$${\frac{1}{z^2}+1}$$は$${\frac{z^2+1}{z^2}}$$と変形できるので0次、といった感じです。 次に、「$${f^1(z),f^2(z),f^3(z)…f^{n-1}(z)}$$の次数が全て0以下」かつ「$${f^n(z)}$$の次数は2以上」を満たす関数を「$${n}$$周期発散関数」と命名しました。 例えば$${f(z)=\frac{c}{z^2-1}+1}$$は2周期発散、$${

はじめに　この記事は 第２５回日曜数学会(2022.10.15) で発表した内容に加筆したものです。 Twitter で話題になった、すべての有理数を産み出す式について、いろいろ遊んでいたところ、作り方のレシピがわかったのですが、そのレシピがとても面白かったので記事にしました。 (話題になった @TamasGorbe さんのツイート) Consider the function f(x) = 1 / ( ⌊x⌋ + 1 − {x} ) and the sequence of numbers 0, f(0), −f(0), f(f(0)), −f(f(0)), f(f(f(0))), −f(f(f(0))), ... Congratulations, you've just listed every rational number exactly once! pic.twitter.com/

2000年静岡大学入試で出題されたこの問題は、一見した段階ではグラフを図示して面積を求めるというよくある問題かに思われた。 とりあえず、グラフ図示のための事前準備を行う。 以上を元にグラフを図示してみると･･････ 富士山ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━!!!! 高校数学という険しい山道を一歩一歩着実に歩んできた受験生だけが、自身の答案というパノラマの中で伝説に残る大絶景を堪能することができた。 グラフだけでなく、受験数学の問題として全体的に美しい。 4次関数、分数関数、三角関数、絶対値、平行移動、拡大・縮小、対称性、極限といったグラフの図示における多くのポイントを的確に処理する能力が問われている良問である。それ故、グラフの図示の基本が怪しい人にとっては決して簡単な問題ではない。 この絶景を試験時間内に拝めた受験生は何人いただろうか。 冬富士の恐怖 (2)は積雪部分の面積を求める問

はじめに　この記事では、先月私が偶然発見した正多角形に関する超面白い性質を紹介したいと思います。 ちょっと長いので、お急ぎの方は証明の部分は飛ばして、超面白い性質の部分だけでもご覧いただければと思います。 正 $7$ 角形の場合　まずは、最初に正 $7$ 角形の場合について。 下の図をご覧ください。 正７角形の場合 見つけた性質は次のようなものです。 一辺の長さ $1$ の正 $7$ 角形(赤色) $4$ つと、一辺の長さ $2$ の正 $7$ 角形 $2$ つ(青色)は、一辺の長さ $2$ の正 $14$ 角形(灰色)とその最長の対角線に、図のようにピッタリ接するように配置することができる。 拡大してもピッタリ接している 図中の $4$ とか $1$ の数字は面積比を表しています。 また、各正$7$角形の向きは全部同じです。 この性質を見つけたときは本当にビックリしました。作図ソフトge

4つ以上の平面に囲まれた立体を「多面体」と呼び、中でもすべての面が合同の正多角形で構成される「正多面体」は最も美しい対称性をもつ立体で、正四面体など5種類しかないことが知られています。この正多面体の亜種として、要件を緩和することで対称性を持つ多面体が考え出されてきましたが、実に400年ぶりに新しい対称性多面体がアメリカの数学者によって考案されました。 After 400 years, mathematicians find a new class of solid shapes http://theconversation.com/after-400-years-mathematicians-find-a-new-class-of-solid-shapes-23217 「正多面体」(通称、プラトンの立体)は、すべての面が合同な正多角形で構成され、すべての頂点で同じ数の面が接する立体で、正四

1. はじめに こんにちは、はじめまして。東京大学 1 年生の米田優峻（E869120）と申します。私は競技プログラミングが趣味で、AtCoder や国際情報オリンピックなどの大会に出場しています1。2021 年 11 月時点で、AtCoder では赤色（レッドコーダー）です。また、2020 年以降、アルゴリズムを学べる以下のようなコンテンツや資料を作成してきました。 レッドコーダーが教える、競プロ上達ガイドライン 競プロ典型 90 問 50 分で学ぶアルゴリズム さて、このたびは技術評論社から、書籍を出版させていただくことになりました2。アルゴリズムと数学が同時に学べる新しい入門書です。 「アルゴリズム×数学」が基礎からしっかり身につく本 - amazon 発売日は今年のクリスマス、2021/12/25 です。電子書籍版も同時期に出る予定です。本記事では、この本の内容と想定読者について、

リモートでコンピューターにアクセスするためのプロトコルであるSSHは、コンピューターの認証を行うために公開鍵暗号を利用しています。公開鍵暗号の方式には「RSA」「DSA」「ECDSA」「EdDSA」があり、それぞれの仕組みと「SSHに適した方式」についてソフトウェア企業「Gravitational」のVirag Mody氏が解説しています。 Comparing SSH Encryption Algorithms - RSA, DSA, ECDSA, or EdDSA? https://gravitational.com/blog/comparing-ssh-keys/ 公開鍵暗号は、暗号化と復号に別々の鍵を用いる暗号方式のこと。例えば、ボブとアリスがやり取りを行う時、アリスは秘密鍵と公開鍵を作成し、公開鍵をボブに渡しておきます。ボブはアリスの公開鍵でメッセージを暗号化してアリスに送信。暗号

ふと思い立ってこんなアンケートを取ってみたのでした。 頻度主義統計学における「95%信頼区間」の95%というのは、以下のどちらだと思いますか— TJO (@TJO_datasci) 2021年7月16日 結果は物の見事に真っ二つで、95%信頼区間の「95%」を「確率」だと認識している人と、「割合」だと認識している人とが、ほぼ同数になりました。いかに信頼区間という概念が理解しにくい代物であるかが良く分かる気がします。 ということで、種明かしも兼ねて95%信頼区間の「95%」が一体何を意味するのかを適当に文献を引きながら簡単に論じてみようと思います。なお文献の選択とその引用及び解釈には万全を期しているつもりですが、肝心の僕自身が勘違いしている可能性もありますので、何かしら誤りや説明不足の点などありましたらご指摘くださると有難いです。 頻度主義において、95%信頼区間の「95%」は「割合」を指す

数学を愛する会 @mathlava 特別賞の好評にある「怠け仕出し屋」は「怠け仕出し屋の数列」から持ってきてますが、怠け仕出し屋の数列は平面の円であることに注意してください。 2021-06-27 23:51:49 数学を愛する会 @mathlava 【選考基準】 ･独断 ･偏見 全てのアイデアを吟味して楽しんでいたため、表彰までに時間がかかったことをお詫びします。 表彰されなかったアイデアも面白いものが沢山ありましたので、是非見てください。 2021-06-27 23:49:31

最適輸送問題（Wasserstein 距離）を解く方法についてのさまざまなアプローチ・アルゴリズムを紹介します。 線形計画を使った定式化の基礎からはじめて、以下の五つのアルゴリズムを紹介します。 1. ネットワークシンプレックス法 2. ハンガリアン法 3. Sinkhorn アルゴリズム 4. ニューラルネットワークによる推定 5. スライス法 このスライドは第三回 0x-seminar https://sites.google.com/view/uda-0x-seminar/home/0x03 で使用したものです。自己完結するよう心がけたのでセミナーに参加していない人にも役立つスライドになっています。 『最適輸送の理論とアルゴリズム』好評発売中！ https://www.amazon.co.jp/dp/4065305144 Speakerdeck にもアップロードしました: https

セガは6月15日、社内勉強会で使った線形代数の教材を、公式ブログで無償公開した。ページ数は150以上。ゲーム開発に必要な3DCGの技術的基礎となる知識を学び直すために使ったものという。 2020年に行った社内勉強会向け教材の一部をPDF形式で公開。全8部構成で、ベクトルや行列、3次元での回転を計算するときに使う「クォータニオン」について教える。ただし簡潔に分かりやすく学べるよう編集したため、用語の定義が一般的なものと異なる場合があるとしている。 ゲーム制作では、キャラや背景を3次元で回転させたり、ゲームエンジンそのものを作ったりするときに線形代数を使うという。セガは教材について「興味のある方は参考にしてほしい。“大人の学び直し”をしてみたい方はぜひ」としている。 関連記事 任天堂がSwitch向けにプログラミング学習ソフト　作ったゲームの共有機能も 任天堂が、Nintendo Switch

オンライン価格設定で面白いと思った結果を紹介します． 「適正価格を二分探索するとそこそこ良い方法になるが， 二分探索に少し手を加えるとさらに良い方法になる」という話です． 出典は R. Kleinberg and T. Leighton (FOCS 2003) の Theorem 2.1 です． この記事自体は Haifeng Xu 先生の講義スライド の第 1 回をかなり参考にしてます． ゲーム理論と機械学習の様々な興味深いトピックが網羅されていておすすめです． 問題設定 戦略の評価尺度：リグレット 自明な $\mathrm{O}(N)$ リグレット戦略 二分探索による $\mathrm{O}(\log N)$ リグレット戦略 二分探索を改良した $\mathrm{O}(\log\log N)$ リグレット戦略 まとめ 問題設定 あなたは A さんに $N$ 個のリンゴ を，$1$ 日

「数学の美しさ」というものは、数学を深く理解することで初めて得られる感覚と言われます。美しさが伝わると数学嫌いも少しはマシになるのかもしれませんが、数学嫌いの人にはそもそも美しさを伝えることができないということで、歯がゆい思いをしている数学愛好家は多いもの。そんなときに便利な、「数学の概念」を視覚的に理解できるグラフィック集は以下の通りです。 soft question - Visually stunning math concepts which are easy to explain - Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/733754/visually-stunning-math-concepts-which-are-easy-to-explain ◆01：奇数の和 奇数の和が平方数にな

数学は「貝の形」「川の流れ」「銀河の渦」など、自然のいたるところに存在します。子どもの頃から数学を愛し、「美はそれ自体が数学的」だと語るニューサウスウェールズ大学数学統計学科の講師トーマス・ブリッツ氏が、日常存在する「数学と美の結びつきが感じられるもの5つ」を挙げています。 The mystique of mathematics: 5 beautiful math phenomena https://phys.org/news/2020-05-mystique-mathematics-beautiful-math-phenomena.html ◆1：シンメトリー(対称) ブリッツ氏は2018年に講演で、「美しいと感じること」のような感情を数学で説明できると語りました。近年の研究から、私たちの脳は「対称的なものを見る」「全体を整理する」「パズルを解く」といった「パターン」を見つけると報酬を得