複素対数函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/29 05:49 UTC 版)
複素解析における複素対数函数（ふくそたいすうかんすう、英: complex logarithm）は、実自然対数函数が実自然指数函数の逆函数であるのと同様の意味において、複素指数函数の逆「函数」である。すなわち、複素数 z の対数 w とは ew = z を満たす複素数を言い[1]、そのような w を ln z や log z などと書く。任意の非零複素数 z は無限個の対数を持つ[1]から、そのような表記が紛れのない意味を為すように気を付けねばならない。
注釈
- ^ このことを、複素指数函数は各非零複素数 z に z の対数となる複素数全体の成す集合を対応させる多価函数を「逆函数」に持つと解釈することもできる
- ^ 特に計算機言語では atan2(y, x) とも書いて、これは x > 0 では arctan(y/x) に一致するが、任意の (x, y) ≠ (0, 0) に対して修正された値をとる。
- ^ 実際にはこれは主値 Log z の制限になる。そのことは、主値との差を微分して 1 における値を比べればわかる。
- ^ 厳密にいえば、各円上の点から負の実軸上の点は除くか、そこでは主値を用いるかしなければならない。
- ^ リーマン面を R と書いたり、その上の対数を logR と書くのはここだけのローカルな記号であって、一般に使用されるものではない
出典
- 1 複素対数函数とは
- 2 複素対数函数の概要
- 3 枝の選択
- 4 複素対数の等角性
- 5 一般化
- 6 関連項目
複素対数函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)
詳細は「複素対数函数」を参照 実函数の場合と異なり、複素数 z に関する方程式 exp z = w {\displaystyle \exp z=w} は任意の非零複素数 w に対して無限個の複素数解を持つ。そのような解 z、すなわち w の複素対数函数 log w は log w = ln | w | + i arg w {\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w} と表すことができる。ただし、ln は実函数としての自然対数で、arg は上述の偏角である。この値は、偏角のときと同様に 2π の整数倍の差を除いて一意であるから、複素対数函数もまた多価函数である。主値としては、虚部 arg w を区間 (−π, π] にすることが多い。
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