正二十八角形とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 21:55 UTC 版)

「二十八角形」の記事における「正二十八角形」の解説

正二十八角形においては、中心角と外角は12.857…°で、内角は167.142…°となる。一辺の長さが a の正二十八角形の面積 S は S = 28 4 a 2 cot ⁡ π 28 ≃ 62.12672 a 2 {\displaystyle S={\frac {28}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{28}}\simeq 62.12672a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 28 ) {\displaystyle \cos(2\pi /28)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 28 = cos ⁡ π 14 = 1 + cos ⁡ 2 π 14 2 = 1 2 ( 1 + 1 12 3 ( 20 + 2 28 − 84 i 3 3 + 2 28 + 84 i 3 3 ) ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}=\cos {\frac {\pi }{14}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {2\pi }{14}}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{12}}{\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}\right)}}} 別の表し方として cos ⁡ 2 π 28 = 1 2 2 + 2 + 2 ⋅ cos ⁡ 2 π 7 = 1 2 2 + 2 + 2 ⋅ 1 6 ( 7 ⋅ 1 + 3 3 ⋅ i 2 7 3 + 7 ⋅ 1 − 3 3 ⋅ i 2 7 3 − 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cdot {\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}-1\right)}}}}} 関係式 α = 2 cos ⁡ 2 π 28 + 2 cos ⁡ 6 π 28 + 2 cos ⁡ 18 π 28 = 7 β = 2 cos ⁡ 10 π 28 + 2 cos ⁡ 26 π 28 + 2 cos ⁡ 22 π 28 = − 7 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}={\sqrt {7}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{28}}+2\cos {\frac {26\pi }{28}}+2\cos {\frac {22\pi }{28}}=-{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos ⁡ 2 π 28 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 28 + 2 cos ⁡ 6 π 28 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 28 + 2 cos ⁡ 18 π 28 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 28 = 0 2 cos ⁡ 2 π 28 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 28 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 28 = − 7 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{28}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{28}}=-{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より x 3 − 7 x 2 + 7 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\sqrt {7}}x^{2}+{\sqrt {7}}=0} 変数変換 x = y + 7 3 {\displaystyle x=y+{\frac {\sqrt {7}}{3}}} 整理すると y 3 − 7 3 y + 13 7 27 = 0 {\displaystyle y^{3}-{\frac {7}{3}}y+{\frac {13{\sqrt {7}}}{27}}=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解は x = 7 3 + 2 7 3 cos ⁡ ( 1 3 arccos ⁡ − 13 14 ) {\displaystyle x={\frac {\sqrt {7}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {-13}{14}}\right)} 平方根、立方根で表すと x = 7 3 + 7 3 − 13 14 + i 3 3 14 3 + 7 3 − 13 14 − i 3 3 14 3 {\displaystyle x={\frac {\sqrt {7}}{3}}+{\frac {\sqrt {7}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}+{\frac {\sqrt {7}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}} cos ⁡ ( 2 π / 28 ) {\displaystyle \cos(2\pi /28)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 28 = 7 6 + 7 6 − 13 14 + i 3 3 14 3 + 7 6 − 13 14 − i 3 3 14 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}+{\frac {\sqrt {7}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}+{\frac {\sqrt {7}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}}

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