周波数歪みとは? わかりやすく解説

周波数歪み

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/06/23 08:28 UTC 版)

双一次変換」の記事における「周波数歪み」の解説

連続時間フィルタ周波数応答は、伝達関数 H a ( s )   {\displaystyle H_{a}(s)\ } で s = j ω   {\displaystyle s=j\omega \ } とすれば求められる同様に離散時間フィルタ周波数応答伝達関数 H d ( z )   {\displaystyle H_{d}(z)\ } で z = e j ω T   {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } とすれば求められる双一次変換設計され離散時間フィルタ実際に ω   {\displaystyle \omega \ } が入力されたとき、その周波数応答連続時間フィルタのどの周波数 ω a   {\displaystyle \omega _{a}\ } に対応するというとH d ( z ) = H a ( 2 T z1 z + 1 )   {\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ } H d ( e j ω T )   {\displaystyle H_{d}(e^{j\omega T})\ } = H a ( 2 T e j ω T − 1 e j ω T + 1 )   {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1}}\right)\ } = H a ( 2 T ⋅ e j ω T / 2 ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) e j ω T / 2 ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) )   {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ } = H a ( 2 T ⋅ ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) )   {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ } = H a ( j 2 T ⋅ ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) / ( 2 j ) ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) / 2 )   {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)/2}}\right)\ } = H a ( j 2 Tsin ⁡ ( ω T / 2 ) cos ⁡ ( ω T / 2 ) )   {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega T/2)}{\cos(\omega T/2)}}\right)\ } = H a ( j 2 Ttan ⁡ ( ω T 2 ) )   {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\right)\ } = H a ( j ω a )   {\displaystyle =H_{a}\left(j\omega _{a}\right)\ } となり、これは離散時間フィルタにおいてz平面内の単位円上のすべての点、 z = e j ω T   {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } が連続時間フィルタのs平面上の j ω   {\displaystyle j\omega \ } 軸、 s = j ω a   {\displaystyle s=j\omega _{a}\ } に写像されることを示している。よって双一次変換での離散時間周波数から連続時間周波数への写像は ω a = 2 T tan ⁡ ( ω T 2 ) {\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)} となり、その逆は ω = 2 T arctan ⁡ ( ω a T 2 ) {\displaystyle \omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right)} となる。 離散時間フィルタ周波数 ω   {\displaystyle \omega \ } において連続時間フィルタ周波数 ( 2 / T ) tan ⁡ ( ω T / 2 )   {\displaystyle (2/T)\tan(\omega T/2)\ } での振る舞いと同じ振る舞いをする。特にゲイン位相に関して離散時間フィルタ周波数 ω   {\displaystyle \omega \ } において連続時間フィルタ周波数 ( 2 / T ) tan ⁡ ( ω T / 2 )   {\displaystyle (2/T)\tan(\omega T/2)\ } でのゲイン位相等しくなる。その特性現れる周波数わずかに異なるが、連続時間フィルタ周波数応答すべての特徴離散時間フィルタ現れることを意味する低周波においては ω ≈ ω a   {\displaystyle \omega \approx \omega _{a}\ } となる。 連続時間周波数の範囲 − ∞ < ω a < + ∞   {\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty \ } は周波数区間 − π T < ω < + π T .   {\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega <+{\frac {\pi }{T}}.\ } に写像される。 連続時間フィルタ周波数 ω a = 0   {\displaystyle \omega _{a}=0\ } なら対応する離散時間フィルタ周波数 ω = 0   {\displaystyle \omega =0\ } となり、連続時間フィルタ周波数 ω a = ± ∞   {\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty \ } なら対応する離散時間フィルタ周波数 ω = ± π / T   {\displaystyle \omega =\pm \pi /T\ } となる。 さらに ω a   {\displaystyle \omega _{a}\ } と ω   {\displaystyle \omega \ } の関係は非線形であり、これは周波数歪みと呼ばれている。 連続時間フィルタ仕様として与えられている周波数遮断周波数中心周波数)を、この ω a = 2 T tan ⁡ ( ω T 2 )   {\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\ } によってあらかじめ補正し設計することもでき、これはプリワーピングと呼ばれる。 この周波数歪みによる主な利点は、インパルス不変法で見られるような周波数応答エイリアシング発生しないことである。

※この「周波数歪み」の解説は、「双一次変換」の解説の一部です。
「周波数歪み」を含む「双一次変換」の記事については、「双一次変換」の概要を参照ください。

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