周波数歪み
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/06/23 08:28 UTC 版)
連続時間フィルタの周波数応答は、伝達関数 H a ( s ) {\displaystyle H_{a}(s)\ } で s = j ω {\displaystyle s=j\omega \ } とすれば求められる。同様に離散時間フィルタの周波数応答は伝達関数 H d ( z ) {\displaystyle H_{d}(z)\ } で z = e j ω T {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } とすれば求められる。双一次変換で設計された離散時間フィルタに実際に ω {\displaystyle \omega \ } が入力されたとき、その周波数応答が連続時間フィルタのどの周波数 ω a {\displaystyle \omega _{a}\ } に対応するかというと、 H d ( z ) = H a ( 2 T z − 1 z + 1 ) {\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ } H d ( e j ω T ) {\displaystyle H_{d}(e^{j\omega T})\ } = H a ( 2 T e j ω T − 1 e j ω T + 1 ) {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1}}\right)\ } = H a ( 2 T ⋅ e j ω T / 2 ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) e j ω T / 2 ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) ) {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ } = H a ( 2 T ⋅ ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) ) {\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ } = H a ( j 2 T ⋅ ( e j ω T / 2 − e − j ω T / 2 ) / ( 2 j ) ( e j ω T / 2 + e − j ω T / 2 ) / 2 ) {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)/2}}\right)\ } = H a ( j 2 T ⋅ sin ( ω T / 2 ) cos ( ω T / 2 ) ) {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega T/2)}{\cos(\omega T/2)}}\right)\ } = H a ( j 2 T ⋅ tan ( ω T 2 ) ) {\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\right)\ } = H a ( j ω a ) {\displaystyle =H_{a}\left(j\omega _{a}\right)\ } となり、これは離散時間フィルタにおいてz平面内の単位円上のすべての点、 z = e j ω T {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } が連続時間フィルタのs平面上の j ω {\displaystyle j\omega \ } 軸、 s = j ω a {\displaystyle s=j\omega _{a}\ } に写像されることを示している。よって双一次変換での離散時間周波数から連続時間周波数への写像は ω a = 2 T tan ( ω T 2 ) {\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)} となり、その逆は ω = 2 T arctan ( ω a T 2 ) {\displaystyle \omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right)} となる。 離散時間フィルタは周波数 ω {\displaystyle \omega \ } において連続時間フィルタの周波数 ( 2 / T ) tan ( ω T / 2 ) {\displaystyle (2/T)\tan(\omega T/2)\ } での振る舞いと同じ振る舞いをする。特にゲインと位相に関して、離散時間フィルタは周波数 ω {\displaystyle \omega \ } において連続時間フィルタの周波数 ( 2 / T ) tan ( ω T / 2 ) {\displaystyle (2/T)\tan(\omega T/2)\ } でのゲイン・位相に等しくなる。その特性の現れる周波数はわずかに異なるが、連続時間フィルタの周波数応答のすべての特徴が離散時間フィルタに現れることを意味する。低周波域においては ω ≈ ω a {\displaystyle \omega \approx \omega _{a}\ } となる。 連続時間周波数の範囲 − ∞ < ω a < + ∞ {\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty \ } は周波数区間 − π T < ω < + π T . {\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega <+{\frac {\pi }{T}}.\ } に写像される。 連続時間フィルタの周波数 ω a = 0 {\displaystyle \omega _{a}=0\ } なら対応する離散時間フィルタの周波数 ω = 0 {\displaystyle \omega =0\ } となり、連続時間フィルタの周波数 ω a = ± ∞ {\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty \ } なら対応する離散時間フィルタの周波数 ω = ± π / T {\displaystyle \omega =\pm \pi /T\ } となる。 さらに ω a {\displaystyle \omega _{a}\ } と ω {\displaystyle \omega \ } の関係は非線形であり、これは周波数歪みと呼ばれている。 連続時間フィルタの仕様として与えられている周波数(遮断周波数や中心周波数)を、この ω a = 2 T tan ( ω T 2 ) {\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\ } によってあらかじめ補正して設計することもでき、これはプリワーピングと呼ばれる。 この周波数歪みによる主な利点は、インパルス不変法で見られるような周波数応答のエイリアシングが発生しないことである。
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