同変写像と同型とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)

「表現論」の記事における「同変写像と同型」の解説

「同変写像（英語版） 」も参照 V と W を F 上のベクトル空間とし、それぞれへの群 G の表現を φ と ψ とする。V から W への同変写像は、線型写像 α: V → W であり、G の任意の元 g と V の任意の元 v に対し、 α ( g ⋅ v ) = g ⋅ α ( v ) {\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)} が成り立つ。このことを、写像 φ: G → GL(V) と ψ: G → GL(W) でいうと、G のすべての元 g に対し、 α ∘ ϕ ( g ) = ψ ( g ) ∘ α {\displaystyle \alpha \circ \phi (g)=\psi (g)\circ \alpha } を意味する。 結合代数やリー代数の表現の同変写像も同様に定義される。α が可逆のときに、同型と呼ばれ、V と W（より詳細には、φ と ψ）は、同型表現(isomorphic representations)という。 同型表現は、すべての実際の目的に対し同一であり、表現される群や代数の同一な情報をもたらす。したがって、表現理論は同型を同一視して表現を分類する研究である。

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