「数学の研究にコンピューターを用いるべきか？」：学会を二分する問いについて

彼の名前はシャロッシュ・B・エハッドという。ちょっと検索してみれば、いくつもの権威ある数学の雑誌で、数多くの論文の著者に名を連ねていることがわかる。

学問の世界で彼は、以前は何ページもの証明を必要としていた定理や恒等式を一言で証明する能力をもつことで有名だ。彼は、ある固定された周辺をもつ整数三角形の数についての公式を検証するのに必要な37の計算を実行するのに、1秒も要しなかった。閃光のような一瞬の論考のあとで、「真である」という簡潔な判定を下した。

一見すると、これ以上不可解なことはないだろう。しかしエハッドは、実際には数学者ドロン・ザイルバーガーがプログラミングを行ったコンピューターなのだ。ザイルバーガーは自分がつくった機械を、あたかも人間であるかのように扱っている。

「彼の魂はソフトウェアです」と、机上のディスプレイの向こう側からザイルバーガーは断言する。「わたしは彼をこのように名付けました。なぜなら、彼の名前はヘブライ語で『3B1』に対応するからです。AT&Tの3B1は、エハッドの最初の肉体でした」。

ラトガース大学の教員ザイルバーガーは、まさにアイザック・アシモフのSF物語『バイセンテニアル・マン』の副主人公、リチャード・マーティンを思い出させる。この登場人物は、自分のロボットに人間の身分が認められるように粘り強く奮闘した。

1980年代からすでに、この科学者はエハッドを自分の研究の著者のリストに含めている。「コンピューターにふさわしい報いが与えられるべきであることを、はっきりと主張するためです」。彼は何十年もの間、数学者たちの「人間中心主義の狭量な考え」と彼が定義するものと闘ってきた。紙とペンのみで行われる昔ながらの証明を偏愛する、保守的な考え方のことだ。

これは彼に言わせれば、数学の分野における進歩を遅らせてきた。「理由は単純です」と彼は主張する。「人々は、いつの日かコンピューターが数学の仕事から人間を追い払うと確信しています」。

実際にはザイルバーガーの見解は、数学におけるコンピューターの役割についての、たくさんある見解のひとつにすぎない。これはデリケートな問題で、定理や証明が次第に複雑になってきていて、ソフトウェアやプロセッサーの機能が向上したことによって、学問の世界でだんだん重みを増してきている。

ジャーナリストのナタリー・ウォルコヴァーは、「Simons Foundation」と「WIRED.com」のために、この問題をまとめている。彼女は、このことが世界の数学者のコミュニティを真っ二つにしている理由を明らかにしようと試みた。

まず、一般に信じられていることとは異なり、一方の見解の前提は確かだ。すべての科学者がコンピューターを使って研究しているわけではない。それどころか、ある定理を証明するためにコンピューターのプログラムをつくることを有害だと感じている人は多い。なぜなら、3,000年もの歴史をもつ規則を変えてしまうからだ。

ウォルコヴァーはこう語っている。「数学の宇宙において新しい真理を導き出すことは、ほとんど常に直感と創造性、天才のひらめきを必要としてきました。コードの列とクリックでは駄目なのです」。

実際コンピューター以前の時代には、あまりに長い計算を手作業で行うのを避ける必要から、予期しない非常に優れた結果が科学にもたらされてきた。象徴的なのは、数学者たちが積分法のようなエレガントな技術を発展させてきたことだ。要するに、困難で回りくどい証明は発見にたどり着く手段ではなく、その目的そのものなのだ。

このような数学に対する見方を支持する科学者は多い。こうした人々のひとりが、オックスフォード大学と韓国の浦項科学技術大学の教員を務めるキム・ミンヒョンだ。彼はこう語っている。「何らかの絶対的な真実にたどり着くことを究極の目標にして、理論を構築していると考える数学者はたくさんいます。しかしそのあとで、理論を構築するために発展させた方法こそが、理論そのものより重要であることに気づきます」。

キムによると、ここにコンピューターの重要な問題がある。コンピューターは、データから新しいモデルや理論を引き出すのに必要となる抽象化や直感のレヴェルをもち併せていない。

もうひとり、情報学の利用を厳しく批判しているのが、カリフォルニア大学バークリー校教授のコンスタンティン・テレマンだ。「純粋数学とは答えを見つけることではなく、それを理解することです。もし言うことができるのが『コンピューターが100万のケースを検証して、その定理を証明しました』だけなら、わたしたちは何も理解していないということです」。

他方でザイルバーガーは「仕方がない」と答える。コンピューターの不撓不屈の2進法の論理は、いまはまだにしても、いつかは人間による概念的理解を超えるだろう。すでにチェスのゲームでは、人間とコンピューターの間で起きたことだ（IBM元開発者「チェス王者にスパコンが勝てたのは、バグのおかげ」：日本版記事）。

「人間がこれまでに発見したすべての事柄のうち大部分は、コンピューターによってごくわずかな時間で再現することができます」と、彼は主張する。「わたしたちが今日取り組んでいる数学の問題の多くは、興味深いから選ばれたのではなく、それらがまだコンピューターなしで解決することができる問題のなかで残された、わずかなものだからです」。

従ってここまで見てきたように、この問題には2つの極端に対立する考え方がある。しかし、誰もが同意することもある。それは、コンピューターの利用を統制する規則やスタンダードの欠如だ。「ますます多くの数学者がプログラミングを学ぶようになっていますが、コードを点検し正しく機能しているかを確認するためのスタンダードは存在しません」と、カーネギーメロン大学の哲学者で数学者であるジェレミー・アヴィガドは主張する。

決して些末な問題というわけではない。テレマンが指摘しているように、90年に何人かの理論物理学者が「ひも理論」のある問題を解決するためのモデルを提案した。数学者たちは同僚たちの推測をコンピューターで検証して、間違いであることを発見した。「しかし、コードが間違っていました。これが、コンピューターを使ううえで最も大きな危険です。プログラムにバグがある場合には何が起きるでしょうか？」。

数論の研究者でプログラミングに精通しているジョン・ハンクは、さらに追い打ちをかける。「問題は、わたしたちが使っているプログラムの大部分が、わたしたちが直接書いたものではないことです。『Maple』『Mathematica』『Magma』などは商用ソフトウェアで、オープンソースではありません。もしこうしたプログラムの1つが、わたしの問題に対する解答を3.765だと言ったとして、もしこれを算出したコードをチェックできなければ、どうやって検証できるでしょうか？ できない、というのが答えです。信頼するしかないのです」。ひとつの証明についてあらゆる細部一つひとつに厳格な検証を行うのが常の科学にとっては、受け入れがたいことだ。

特にもしオープンソースのコードや自分で書いたものだったとしても、問題はなくならない。なぜなら、常に誰かが検証する必要があるからだ。そしてしばしばコードのチェックは、計算にかかるのよりも多くの時間を必要とする。「iPadのコードの中にある1つのバグを探すようなものです」と、テレマンは追撃をかける。「誰がするのでしょうか？ どれだけのユーザーに、こうしたコードのすべての行を研究する時間と意志があるでしょうか？」

答えはコンピューター自身が出せるだろう、と大胆に主張する人もいる。コンピューター自身が自分の検査役となることができるかもしれないというのだ。しかしここに至っては、「Quis custodiet ipsos custodes？（誰が番人の番をするのか？）」という古くからの問題が再び提起されることになるだろう。人間の数学者にとっては、厳しい格言だ。

TEXT BY SANDRO IANNACCONE

TRANSLATION BY TAKESHI OTOSHI