21世紀数学史上最大の偉業!?：「ABC予想」を日本の数学者が証明

“2007MAY131113” BY bootload (CC:BY-NC-ND)

それはABC予想と呼ばれている。名前はシンプルで、学問の初歩を想起させるが、実は最も証明するのが困難な数学の予想のひとつで、世界の才能あふれる数学者たちが労力を費やしてきた。1637年に提起され、約4世紀後にアンドリュー・ワイルズによって解決された、あの有名なフェルマーの最終定理のようなものだ。

現在、日本の数学者、京都大学の望月新一教授がある論文を公開して、この推測の証明を提案している（500ページという長さを考えると、もはや本だが）。

どういう問題なのかを簡潔に要約してみよう。ABC予想は、1985年にデイヴィッド・マッサーとジョゼフ・オステルレがそれぞれ独自に提案したもので、いわゆるディオファントス問題の一部をなしている。すなわち、整数係数をもち、1つかそれ以上の未知数からなる方程式で、そこから整数解が求められるものを扱っている（フェルマーの最終定理もこのカテゴリーに属する）。ABCとは、それぞれ異なる整数で互いに素のa, b, cをもつa+b=cの形の等式を指したものだ。

a, b, cの素因数の積をdとすると、予想によれば、dは稀にcより小さくなる。稀に、というのは、一見すると数学的厳格さにはふさわしくない言葉のように思われるが、実際には、この予想が真ではない場合が有限数存在するということを意味している。

「ABC予想は、ある意味において、和と積の関係を記述している。そして今日、この問題について何かを学べるというのは、非常に驚くべきことだ」と、ウィスコンシン大学マディソン校のジョーダン・エレンバーグは説明している。

数学コミュニティは、望月教授の研究に大きな関心を寄せている。「もし正しければ、多くのディオファントス問題が一瞬のうちに解決されるだろう。21世紀における数学で最も驚くべき結果のひとつだろう」と、ニューヨーク、コロンビア大学のドリアン・ゴールドフェルドは保証する。

実際、いままでのところ、多くの科学者たちが無益にもこの予想を証明しようと努力してきた。そのなかには、あのアンドリュー・ワイルズもいる。同僚たちと同様に、望月教授もまた楕円曲線の理論、すなわち「y2=x3+ax+b」のような関係代数によって生み出される曲線を用いた理論を使って問題を攻略しようとした。

しかしながら、その後、この日本人数学者は先行研究から離れ、今日では世界でごくわずかの科学者だけが理解できる数学的装置を発展させた。望月教授の技術は、新しい「オブジェクト」、つまり、例えば集合、順列、行列に似た、抽象的な数学的概念を用いている。「ここに至ると、完全に理解できるのはおそらく世界で彼ひとりだ」とゴールドフェルドは続けている。

スターンフォード大学のブライアン・コンラッドによると、「科学コミュニティが望月教授の新しい見解を消化できるまでには多くの時間が必要だろう。このように長く精巧な証明を理解するために数学者たちが時間を費やすことができるかは、望月の経歴にもよるが……」。

望月教授の業績リストを見れば、その価値はあるようだ。「彼は過去に非常に複雑な定理をすでにいくつか証明しているし、研究を深く掘り下げていたようだ。従って、わたしたちが信頼を置くに値する」と、コンラッドは続けている。

さらにモチヴェーションを高めてくれるのが、この日本人数学者の業績は、ABC予想を証明するだけでなく、数学の新しい部門の発展に道を開くかもしれないということである。「もし実証されれば、望月教授の技術はほかの問題の解決の鍵となりうる」と、コンラッドは結んでいる。初歩を意味するABCとはまったく異なるのだ。

TEXT BY SANDRO IANNACCONE

TRANSLATION BY TAKESHI OTOSHI