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アルゴリズムの学習をするなかで、「動的計画法」という用語が登場する。 よくある説明は、「ナップザック問題を解くのに使われる」とか、何か具体例を示して理解を促すものだけど、 そもそも動的計画法ってなに？ というところが、明確でなくて非常にわかりにくい。 わかりにくいのもそのはずで、そもそも動的計画法という名前のアルゴリズムや特定の手法があるわけではなくて、 動的計画法というのは、「考え方の名称」である。 「この問題は動的計画法で解きましょう」と言った時には、 「この問題は動的計画法的な考え方で解き方を別途考案しましょう」と読み替えるべき。 動的計画法は、あくまで「考え方」であるので、具体的な解き方（アルゴリズム）は、問題ごとにまったく異なるものになる。 繰り返しになるけど、動的計画法という名前のアルゴリズムがあるわけではない。 動的計画法の考え方とは ・大きな問題を小さな問題に分けて解く。
最近では、大学関係の話題が多い。それほど、大学の在り方が問われる時代になったということだろう。 少しさかのぼって、「大学での海外留学必修化」の話題がある。 一橋大、新入生の留学必修に 立教や早稲田も ：日本経済新聞 この内容には、よくやった。と言いたい。私は賛同する。 ネット上のコメントは、この案を批判するものばかりなので（まぁ、何を提案しても、否定されるのだろう）、思うところを書いてみる。 多くは「4週間」という短期間では意味が無い。という観点からの指摘が多い。それでは、何も学べない、と主張する。 いやちがう。 若者の感受性を侮ってはいけない。 若い時の4週間は、海外を、世界を肌で知るには十分な期間である。 私は、ちょうど二十歳のときに4週間だけ海外滞在を経験した。そこで得たものは非常に大きく、その後の人生に大きな影響を与えている。 それ以降、何度も海外に出ているが、最初に経験した、こ
【キーワード】Excel, 正規分布, 乱数, 正規乱数 ■目的 ダミーの実験データを作る場合などに、正規分布に従う乱数を得たいことがある。 ここでは、Excelを使って、そのような乱数を生成する方法を説明する。 ■RAND関数 Excelに備わっている乱数先生関数RANDを使用すると0から1の間で一様分布する乱数が得られる。 ■NORMINV関数との組み合わせで正規乱数を得る 次のようにRAND関数とNORMINV関数を組み合わせると、平均値と標準偏差を指定した正規分布する乱数（正規乱数）を得られる。 =NORMINV(RAND(),平均値,標準偏差) 例：平均0、標準偏差1で正規分布する乱数は次のようにする。 =NORMINV(RAND(),0,1) 上記の乱数を500個生成した分布図は次の通り。正規分布の形を見て取れる。 ■（おまけ）NORMINV関数とは Excelのヘルプによると
以前にも紹介したWolfram Alphaは、やはりすごい。 大学レベルの積分問題もあっという間に解くことができる。 たとえば、 を解いてみよう。 ちなみにこの問題は、こちらから取ってきたもので、解答は次のようになっている。 簡単な問題ではない。 さて、これが本当に解けるか。Wolfram Alpha の入力欄に次のように入れてみよう。 Integrate[1/(x^3+1), x] すると。。 正解！ 問題の入力方法を学ぶのに少し手間がかかるけど、基本的にはMathematicaと同じ入力方法で、不定積分であれば Integrate[ xの式, x] とする。 定積分であれば Integrate[ xの式, {x, xの最小値, xの最大値] とする。 具体例として、次の問題を解いてみよう。 Wolfram Alpha に Integrate[sin(x)/(1+cos(x)), {x,
前回のエントリ（多次元尺度構成法）で紹介した kohta blogの中に isomapという多様体学習の手法を紹介したスライドが公開されているのを発見。 Rでisomap（多様体学習のはなし） from Kohta Ishikawa 以前どこかで、似たような話をチラリと聞いたことがあったのだけど、その時はよくわからないまま素通りしていた。 これが、あまりにわかりやすく説明されていて感激した。 ざっと概要だけイメージを持つには、次の4つのページの図がわかりやすい。 多変量解析のはなし―複雑さから本質を探る (Best selected Business Books) 作者: 大村平出版社/メーカー: 日科技連出版社発売日: 2006/08/01メディア: 単行本購入: 12人 クリック: 62回この商品を含むブログ (8件) を見る 図解でわかる多変量解析―データの山から本質を見抜く科学的分
このブログでカバーされている「勉強に役立ちそうなエントリ」の一覧です。 ★をつけたものは、書くときに頑張ったような気がするので、見て損は無いと思う。というもの。 ■ 理工系の大学学部生くらいを対象とした用語の説明 ・★ベクトルの内積とは - 大人になってからの再学習 ・★固有ベクトル・固有値 - 大人になってからの再学習 ・★log(1+x)のテイラー展開・マクローリン展開 - 大人になってからの再学習 ・★写像：単射、全射、全単射 - 大人になってからの再学習 ・★フーリエ変換 - 大人になってからの再学習 ・★フーリエ級数展開の式を理解する - 大人になってからの再学習 ・★フーリエ級数展開の式を理解する(2) - 大人になってからの再学習 ・★プログラミングで理解する反射律・対称律・推移律・反対称律 - 大人になってからの再学習 ・★群・環・体 - 大人になってからの再学習 ・★分散
数列の収束について学ぶと、次のような記述を目にする。 これはいったいどのように理解したらよいだろうか。 アルファベットのAをひっくり返した記号「∀」は「全ての・・について〜が成り立つ」という意味。 アルファベットのEをひっくり返した記号「∃」は「〜が成り立つ・・が存在する」という意味。 もう少し簡単に言ってしまえば 「∀」は全部 「∃」は1つだけ 先ほどの式は、日本語で説明しようすると面倒で、英語で言ってしまった方が簡潔だ。 For all ε>0 there exists an n0 such that |a-an|<ε for all n>n0. 「∀」は for all に 「∃」は there exists に読み替える。 実は、先ほどの数式を表すためのTeXでの記法は次のようになる。 \forall \varepsilon > 0, \exists n_0, \forall n
「4次元の・・」という言葉を見ただけで、ああ、もう理解できるわけがない、と拒絶反応を起こすのが普通かもしれない。 でも、そんなに難しく考える必要はない。 0次元の点、1次元の線、2次元の平面、3次元の立体、と1つずつ次元を上げて行って、もう一つ次元を追加すると4次元になる。 もう1つの次元に、「時間軸」を与える話もあるけど、ここではそうではなく、あくまで幾何学的な「かたち」に関する次元とする。 この4次元の「かたち」を想像するのは難しい。 私たちは、3次元のかたちしか見たことがないのだから。 でも、どのような「構造」をしているかを想像することはできる。 0次元から3次元までの「点」「線」「正方形」「立方体」という、基本的な図形について、その構造を「頂点」「辺」「面」「胞（ほう）」に着目してまとめてみると次の表のようになる。 （※「胞」という言葉は普段見慣れないけれど、平面に囲まれる空間のこ
主成分分析の手抜きな説明。 主成分分析とは、データ群に対して、もっとも個々の特徴を比べやすい評価軸を決定しましょう。というもの。 仮に、国語と算数のテストの点について、下のグラフのような分布が得られた場合、 国語はみんな同じような点数なので個々の特徴はほとんど無いけれど、算数の点はばらつきが大きいので、個々の特徴を表していると言える。 この場合は、算数の点が「主成分」と言うことができて、国語の点は無視してしまって構わない。 すると、個々を評価するための項目をたった1つに限定することができた。便利。 繰り返しになるけど、つまり主成分分析とは個々の特徴を比べやすい軸を決定しましょう。ということ。 じゃあ、もし下のグラフのような分布をしていたら？ そしたら、個々の特徴を比べやすいように、新しい軸を決定することになる。 赤い矢印で示すような軸を設けることで、やはり、たった1つの評価軸で個々の特徴を
ここしばらく「人工知能」の話題にことかかない。 SFの世界の話だった人工知能が、いよいよ現実味を帯びて、我々の日常生活に入ってくるようになった。 そんなわけで、「人工知能について勉強したい」と思うわけだけど、何を勉強したらよいのか、よくわからない。 まずは、機械学習、ニューラルネット、という言葉が出てくるのだけど、それを勉強したら人工知能が作れるようになるかというと、 なんだか判別器を作っているだけにすぎなくて、それで「人間の様にふるまう知能」が作れるとは、とうてい思えない。 では、自然言語処理かと思って勉強すると、マルコフ連鎖とかベイズ推定で文章生成とかいっても、これって適当に単語を並べているだけで、とても「知能」があるとは思えない。一昔前に流行った「人工無能」の発展版？ ではでは、人工知能学会で発表されている研究を覗いてみようか。 論文一覧がこちらで確認できる。 ・人工知能学会論文誌
のように、次数が2の多項式で表される式の形を2次形式と呼ぶ。 この形で表される多項式は、ベクトルと行列の演算を使って の形で表すことができる。 ここで、 である。 実際に であることを簡単な計算で確認できる。 一般化して とすれば、 である。 たとえば のように、3つの変数が含まれる2次形式の場合も、 とすることで、 の形で表すことができる。 ここで登場する行列は、多項式の係数によって決定されるので係数行列と呼ばれる。 よく観察するとわかるように、は実対称行列になっている。 ■ 実対称行列ってなんだっけ？ 実対称行列とは、成分がすべて実数の対称行列のこと。 対称行列とは、転置させたものが自分自身と同じになるもの。つまり、となる行列。 ■で、このようなことを知っていると何かいいことあるの？ ここまでで説明したことは、2次形式という形をした多項式は、ベクトルと行列の積の形で表現できるということ
病院で待たされた。待たされた。2時間半待って、診察が終わって帰宅まで3時間。 出勤の前に、サッと済ませることができることを期待していたのは完全に甘かった。 一針縫う怪我をしてしまって、包帯の交換のために診察時間開始のタイミングで入ったのだけど、すでに待合室は混雑しきり。 （この病院はネット予約に対応してない。） よく聞く話だけど、やっぱり大半はご高齢の方々ばかり。現役で働いているっぽいなぁ、と思われる人は自分を入れて2人しかいなかった。 この待ち時間は明らかにもったいない。 経済の専門家ではないけど、こんな計算をしてみた。 現在の日本の就業者数：6363万人 統計局ホームページ/労働力調査（基本集計） 平成26年（2014年）8月分結果 就業者1人が1年間に病院で待たされる時間の平均： 1時間 x 2回 = 2時間 ← 適当 1時間の価値： 2300円 出典：国土交通省道路局 Invest
平面を隙間なく敷き詰められる正多角形の頂点の数は３，４，６の3種類だけ。 複数の正多角形を使ってよい場合、すべての頂点が同じ形をしている（各頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ）という条件では、次の８種類の敷き詰め方がある。これをアルキメデスの平面充填と呼ぶ。 左上の敷き詰め方は(3,3,3,3,6)または(,6)と表すことができて、これは頂点の周りに正3角形が4つと正6角形が1つ並ぶことを示す。このような表記を頂点形状（Vertex Figure）と呼ぶ。 (3,3,4,3,4)となっていたら、正3角形、正3角形、正4角形、正3角形、正4角形の順番に並ぶことがわかる。頂点の周りに集まる多角形の内角を足し合わせれば360°になる。 多角形Aと多角形Bの境界に位置する稜線を、多角形Aと多角形Bの中心を結ぶ線分に置き換えると、双対な関係にある平面充填を求めることができる。 上記の敷き詰めパタ
統計でも物理でも画像処理でも、どこにでも出てくるガウス関数（正規分布）。 だいたい次のような形の式で表現される。 数学が嫌いだったり、数学アレルギーだったりすると、もうこれだけでダメ。 この式は、「つりがね型」と言われる、次のような曲線を作る。 ちなみに、釣鐘（つりがね）って、こんなの。 （出典：弘化の釣り鐘 文化遺産オンライン） このガウス関数、あまり難しく考えなくても、だいたい次のような要点だけ理解しておけば、ほとんどの場合には事足りる。 結局、「ガウス関数＝つりがね型」と決まっているので、 ガウス関数の式が出てきたときに「どんな形をしているのだろう？ 」という疑問に対しては、「どれくらい平べったいか」くらいしか自由度が無い。 つまり、下の緑の数値だけ見て、ここが大きくなると平べったくなって、小さいと上に尖った形になる、ということがわかっていれば、だいたいOK。 マンガでわかる統計学
流体の学習で登場するのが移流方程式。 この移流方程式は、次のような1階偏微分方程式の形で示される。 これはなんだ？？ 教科書では、次のような説明が見られる。 ＝＝ 水にインクを落とす。すると、インクは同心円状にジワーっと広がっていく。これが拡散。 もしも、インクを落としたのが流れのある川の水面であった場合、インクは川下へ流れていく。この現象が移流。 ＝＝ 簡単に言ってしまえば、 「移流とは流れに沿った移動」 のこと。 何の移動なのかと言えば、インク液の濃度でもいいし、温度でもいい。何でもいい。数値で表現可能な物理量のこと。 つまり、繰り返しになるけど、移流とは 「流れに沿って物理量が移動する」 という現象のことを言う。 ここまでは、全然難しい話ではない。 左から右への流れがあれば、温度やらインクの濃度やらは、流れに乗って、左から右へ移動する。これが移流。 周りに徐々に広まって、濃度が薄くな
文字列の検索アルゴリズムとして、ボイヤー・ムーア法と呼ばれる有名なものがある。 詳しくはWikipediaの「ボイヤー-ムーア文字列検索アルゴリズム」を見てもらうとして、直観的に理解するには次のページの図がわかりやすい。 ■ [ITpro http://itpro.nikkeibp.co.jp/article/MAG/20061115/253802/:title=こうしろうのMindStorms日記 - 第78話 効率がいいアルゴリズムは美しい] ↓単純なマッチングによる検索 ↓ボイヤー・ムーア法による検索 ボイヤー・ムーア法の方が、文字列の比較回数が少なくて効率がよいことがわかる。 ところで、今回のエントリの本題はこの文字列検索のボイヤー・ムーア法ではなくて、ボイヤー・ムーアの過半数判定アルゴリズムの話。 ボイヤー・ムーア法と言うと文字列検索の「Boyer-Moore String Se
QR分解とは、n x nの正方行列を直行行列と上三角行列の乗算に置き換えること。 次のような感じ。 幾何学的には直行行列は回転を表し、上三角形行列は拡大・縮小とせん断（スキュー）を表すので、ある行列による変換（線形変換）が、どのように基本的な変換を組み合わせて実現されるかを復元することができる。 別の言い方をすると、線形変換を行う2x2の行列があったとき、その線形変換を、回転・拡大縮小・スキューの要素に分解できる。線形変換については先日のエントリを参照。
先日のエントリ 論文自動生成プログラムSCIgen の続き。 SCIgenという論文自動生成プログラムが2005年に開発されて以降、 このプログラムによって自動生成された論文が、査読付きの学会に複数採択されている、という内容を書いたけれど、 そのことを指摘した論文のPDFファイルが公開されていた。 Duplicate and Fake Publications in the Scientific Literature: How many SCIgen papers in Computer Science? http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/71/35/55/PDF/0-FakeDetectionSci-Perso.pdf タイトルは、なんともわかりやすい。 「コンピュータサイエンスの分野で、SCIgenによって生成された論文はいくつ存在するか？」
「形式文法」について調べてみると、その厳密な定義やオートマトンと組み合わせた判定・解釈の話が多くて、具体的な文章生成に関する説明が見当たらない。 ここでは、形式文法によって文章を作り出す方法について、簡単な具体例を使って説明してみる。 ■ はじめに 「形式文法による文章の生成」 は 「文字の置き換えによる文章の生成」 のこと。 ■ 例えば ＜主語＞＜述語＞ という文字列があったときに、＜主語＞を「私は」に、＜述語＞を「寝る。」に置き換えると、 私は寝る。 という文章ができあがる。 ■ だけど・・・ ＜主語＞を「＠％！」にして、＜述語＞を「★＊」に置き換えると、 ＠％！★＊ なにがなにやら・・・ということになってしまうので、置き換えに使える文字列は、予め決めておかなければならない。 最終的にできあがる文章は、次の単語しか使ってはいけないと決めておく。 {私は，あなたは，寝る。，食べる。} つ
人工知能がチューリングテストに合格したり、アメリカのクイズ番組で人工知能ワトソンが人間のチャンピオンを破って優勝したり、日本では大学入試で私大400校に合格できるレベルの人工知能が開発されたり、最近の「人工知能」に関する進歩は目覚ましいものがある。 少し検索すれば、ニュース記事を自動生成するプログラムの話や、アフェリエイトやSEO対策のために数万規模のWebページを自動生成するプログラムの話などが簡単に見つかる。 一方で、GoogleはこのようなSEO対策のために自動生成された文章を見破るためのアルゴリズムを開発したりしている。すでに、「人工知能どうしの戦い」は始まっていると言っていい状態だ。 人間の進歩はコンピュータの進歩の速度にはとうてい敵わないので、近い将来、人間の知能を凌駕するコンピュータが登場するのも時間の問題だろう。 医療、司法、政治、教育、様々な分野でコンピュータの言いなりに
関連エントリ ・統計的検定の考え方 - 大人になってからの再学習 ・カイ二乗検定 - 大人になってからの再学習 今回は、t検定の具体例を紹介してみる。 ■ はじめに 何かの実験を2回おこなった場合、その結果がまったく同じになることはほとんどなくて、程度の差こそあれ違う結果が得られる。 この「程度の差」が重要で、あまり差が無いのであれば「偶然でしょう」と考えることができる。 差が大きければ「何か要因がある違い（有意である）」と考えられる（統計的検定の考え方 - 大人になってからの再学習）。 t検定では、2つの実験結果、2つのアンケート結果などの「平均値の差」に対して、その違いが偶然なのか（よくあるデータのバラつきなのか）、それとも何か本質的な違いがあるのか（有意水準5%または有意水準1%で差があると言えるのか）判断を下すことができる。 ■ t検定でできること t検定（2つの母平均の差に対する
統計と検定というキーワードが出てくると、もうダメ、わからない。 この「統計的検定」というものの、基本的な考え方を噛み砕いて書いてみる。 ================= 問題 実験を2回した。 1回目と2回目で異なる結果となった。 どんな実験であっても、結果が完全に同じになることはほとんどないので、異なる結果となるのは当然のこと。 これを見てA君とB君が次のように主張した。 A君：これって偶然におきたんだよ。 B君：偶然じゃないよ。何か特別な要因があったんだよ。 A君とB君、どちらが正しいだろう。 ================= このような問題に対して、根拠を持って説明しようとするのが統計的検定。 「偶然じゃない」というのを証明するのはとても難しいので、 「偶然に起きちゃった」と仮定した時に、その偶然が起きる確率を調べる。 （この確率を調べる方法は実験内容によって様々。その調べ方によ
いつのまにか、Googleでの数式検索が3D対応していた。 x, yという2つの変数で表された関数の値をzと取るような、3次元空間上の2変数曲面の表示がサポートされたわけだけど、 具体例を挙げてみると、数式 「(x^2+( (2.8 y)/2-(x^2+abs(x)-8)/(x^2+abs(x)+2))^2)-55」 を入力すると、かわいらしいハートの形が現れる。 これは、Google ChromeなどWebGLに対応したブラウザだけの機能だけど、マウスのドラッグで回転させたりズームしたり、変数の範囲（定義域や値域）を指定できる。 次のリンク先で体験してみよう。 https://www.google.co.jp/search?q=%28x%5E2%2B%28%282.8+y%29%2F2-%28x%5E2%2Babs%28x%29-8%29%2F%28x%5E2%2Babs%28x%29%
いろいろな場面で、ある行列を複数の行列の積の形に置き換えることが行われる。 これを行列の分解（Matrix Decomposition）と言って、これまでに様々な分解方法が考案されている。 なんのために行列を分解するのか？ 行列を分解することで、計算を速く行えるようになる、という実際的なメリットがあったり、その行列の性質がわかったりするから。 では、どのような分解方法があるのかを以下に紹介。 ■ LU分解 行列Aを行列Lと行列Uの積の形に分解する。 つまり、 のかたちにする。 Lは下三角行列 (lower triangularmatrix)で、Uは上三角行列 (upper triangular matrix) で、次のような感じになる。 このような形に分解できれば、 の形で表現される連立一次方程式を簡単に（高速に）解くことができる。 なので、上式は となって、とりあえず と置くと、 となる
昨日のエントリ「2つのボールをぶつけると円周率がわかる」は、 New York Times の The Pi Machine の記事の内容を紹介しただけだったのに、約24時間で700以上のはてなブックマークがついてしまい、驚いている。 このブログの過去最高のブックマーク数を超えてしまいそうな勢いだ。 やっぱり New York Times はスゴイと言うしかない。 予想以上に多くの方々が「円周率」に興味津々らしい。 ちなみに、このエントリ、偶然にもブログを開始してから314回目の記事となった！ New York Times の NUMBERPLAY のコーナーでは、このような数学の面白い話が紹介されているので、興味を持たれた方は、直接そちらの記事を見てみるとよい。 NUMBERPLAY - Wordplay Blog - NYTimes.com - NYTimes.com http://w
三角形ABC内の点Pを、別の三角形A'B'C'内の、それっぽい場所P'に対応させたい。 P'の位置はどのように決めたらいいだろうか。 それっぽい場所。。って、曖昧すぎる。 そこで、重心座標系（Barycentric coordinate system）が用いられる。 三角形ABC内の任意の点Pの座標は、 P=αA+βB+γC の形で表現できる。 つまり、三角形の各頂点座標の線形和。 3つの係数だけで位置が決まるので、 P=(α，β，γ） という形で表現することができて、 これを重心座標と言う（重心の座標ではなくて、重心座標系で表した時の座標値ということ）。 三角形の3つの頂点を参照して位置を決める方法なので、 P'＝αA'+βB'+γC' とすれば、三角形ABC上の点Pと、三角形A'B'C'上の点P’をうまく対応付けすることができる。 （三角形ABC上全体が、三角形A'B'C'全体に1対1
参考： これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル 作者: 佐藤文広出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 1994/06メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 21回この商品を含むブログ (16件) を見る ■公理：Axiom 理論の土台となる約束事。前提事項。 （証明の必要は無い。） ■定義：Definition 新しく導入する述語や単語の正確な意味を定めること 以降の「定理」・「命題」・「系」・「補題」はいずれも定義・公理に基づく厳密な推論により証明された主張。 違いは、理論の中で果たしている「役割」であって、厳密な区別は無い。 最も一般的なものは「命題」で、他の定理、系、補題も命題の一種と言うことができる。 ■定理：Theorem 成り立つことが証明済みの命題で、特に重要であるもの。 （公理から真であることが導き出される） ■命題：Proposition 定理と呼ぶほどで
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
韓国に行くことがあったので、ハングルの読み方を少し勉強してみた。 少しでも読むことができると、街の看板の中にも意味がわかる言葉を見つけることができたりして、旅の楽しみも全然違う。 ハングルは人工的に作られた表記方法であることは、よく知られていて、基本的な読み方さえ理解してしまえばいいので覚えるべきものの量は多くない。 私は、上のような表で頑張って暗記したのだけど（ガイドブックに載っていた）、 後でいろいろインターネットで調べて、これは適切でなかったと後悔している。 まず、日本のカタカナで母音を表記しているのがよくない。 日本語の母音はアイウエオの5種類しかないのに、ハングルには10種類が登場するので、重複があり、違いがわからない。 ネット上で「ハングル 表」の画像検索をすると、様々な表が見つかるけど、多くはアルファベットで読みを表記している。 たとえば、上の表だと、同じ「オ」であっても、y
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