2つのボールをぶつけると円周率がわかる

一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。

The Pi Machine - NYTimes.com

ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。

これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。

↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。

↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。

後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。

これでも、なんだかよくわからない。

まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。

まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。

続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。

壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて、最初のボールにぶつかる（これが3回め）。

以上より、円周率の最初の数字「3」が求まった！

続いて、手前のボールが奥のボールの100倍の重さを持っているときのことを考えよう。

すると、手前のボールが奥のボールにぶつかった後、奥のボールは質量が軽いので、壁と手前のボールの間を何回か往復することになる。

そのあいだに発生する衝突の回数を数えると31回。

この様子をシミュレーションしたのが下の動画。

衝突のカウントが31なので、これで円周率の最初の2けた、3と1が求まった！！！

なんだか、きつねにつまさまれているような感じがするけど、
手前のボールと奥のボールの質量の比を10000:1にすると、今度は314回衝突を繰り返すらしい。

なんと、円周率の最初の3けたが求まった。

手前のボールと奥のボールの質量の比を1000000:1にすると、今度は3141回衝突を繰り返すらしい。

これで円周率の最初の4けたが求まった。

このようにして、100^N:1の質量比のボールをぶつけることで、円周率の小数点以下N桁目までを求めることができるらしい。

これは偶然ではなくて、立派な論文として2003年に発表され、証明もなされている。

おもしろいなあ。

http://ics.org.ru/doc?pdf=440

知的インテリア バランスボール

円周率1000000桁表

πの歴史 (ちくま学芸文庫)