100年以上解けなかった物理学の難問が、ついに数学の力で解けました。 アメリカのミシガン大学（U-M）で行われた研究によって、原子一粒の衝突から台風規模の渦までを貫く“一本の数学的な鎖”を初めて構築し、流体力学における3つの主要理論を統合することに成功したのです。 これまでの物理学では個々の粒子レベル、粒子の集団レベル、巨大な流体レベルを異なる数式で記述しており、まるで別々の法則のように扱われていました。 しかし今回の成果により3つの理論を連結させ、1900年から数学者たちを悩ませてきた「ヒルベルトの第六問題」の重要な部分を解決する大仕事となりました。 三つの理論を連結する“数学的鎖”は、どのように鍛え上げられたのでしょうか？ 研究内容の詳細は2025年03月3日に『arXiv』にて発表されました。

北陸先端科学技術大学院大学（JAIST）と米マサチューセッツ工科大学の研究チームは3月10日、120年以上未解決だった古典パズル「デュードニーの裁ち合わせパズル」の証明に成功したと発表した。 与えられた多角形をなるべく少ないピースに切り分け、並べ替えて別の多角形に変えるパズルは「裁ち合わせパズル」といわれる。そのうちの有名な問題の一つが、デュードニーの裁ち合わせパズルだ。これは“正三角形を4つのピースに切り分けて正方形を作る”という問題で、4ピースよりも少ない解があるかは120年以上未解決のままだった。 研究チームは数年間この問題に取り組み、JAIST所属の鎌田斗南助教が新しい証明技法を考案。このパズルの最適解は4ピースであり、3ピース以下の解が存在しないことを証明した。 研究チームの証明技法では、まず3分割の方法となり得る組み合わせを列挙。そのうち実現の可能性がある組み合わせのみに絞り込

頂点が全て格子点上にある多角形 ピックの定理（-ていり、Pick's theorem）は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように、最も近い点同士の間隔を1とする正方格子点（等間隔に配置されている点）上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。 例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。 この定理は 1899 年に ゲオルグ・アレクサンダー・ピックによって初めて示され、エルハート多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。 同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもで

NTT基礎数学研究センタでは、数学の基礎研究をとおして科学技術の源泉である「知の泉」をより豊かにしたいと考えています。本稿ではまず、NTT基礎数学研究センタでの研究の全体像を俯瞰します。さらに、センタの中心的な研究領域である「数論、特に数論力学系」「代数幾何・数論幾何」「表現論・保型形式」について紹介します。 およそ2500年前のギリシャで、素数の研究がなされたことは驚きです。素数が無限に存在することや自然数が素数の積に一意に分解できることが示されていました。どんな動機があったのかは不明です。しかも1977年のリベスト、シャミア、エーデルマンによるRSA暗号方式の発明まで、その工学や社会での応用は期待さえありませんでした。加えてRSAの鍵となる「 を素数、 を整数とすれば が成り立つ」というフェルマーの小定理（1）の発見（証明はライプニッツ）後も、その確立に300年余を要しました。 数論（

拙著『達人に学ぶ SQL徹底指南書』の中で、EXISTS述語の使い方を解説している章があるのだが、そこでEXISTS述語だけが唯一SQLの中で二階の述語である、ということを説明している。これはEXISTS述語だけが行の集合を引数にとる述語だからである。それは分かるのだが、なぜ述語論理を考えた人（具体的にはゴットロープ・フレーゲ。タイトル画像のおじさんである）はこんな着想を得たのか、そこが分かりにくいという質問をしばしば受けることがある。確かに、数ある述語の中でなぜ「存在する」だけが二階の述語であるのか、というは直観的にすこし分かりにくい。なぜフレーゲはこんなことを考えたのだろう？ この点について、述語論理の創始者でもあるフレーゲの議論を参照しながらかみ砕いて見ていきたいと思う。かなり理論的かつ哲学的な話になるので、興味ない方は読み飛ばしてもらってかまわない。とくにSQLの理解に支障のある話

どうもこんにちは　ごててんです　喉が渇きました 位相、みなさまのご家庭にも1,2個あると思いますが　今回はその位相を扱っていきます この記事の目標は「距離化可能でない位相空間の例」を1つ紹介することです ...だったのですが ちゃんと距離空間の部分を書いてみたら　位相の登場が相当後になってしまいました　距離空間を3秒でも勉強したことがある人は本編から読んでください（）　多分距離空間の部分より短いですが 具体的な予備知識 → 集合, 写像, 直積, 集合族, ユークリッド空間, 三角不等式, (開集合) この記事では$0$を自然数に含めません（含める派ですが） 記事の流れはい　それなりにわかりにくい構成になると思うので　ここで記事の流れをまとめておきます 距離空間を定義 → 開集合を定義 → 位相空間を定義 → 距離化可能を定義 → 本題 → 距離空間の性質を調べる → 距離化できない例を証

さまざまな数学的トピックをムービー形式で解説するサイト「3Blue1Brown」において、ChatGPTに代表されるAIを形作っている「Transformer」構造の心臓部「Attention(アテンション)」についての解説が行われています。 3Blue1Brown - Visualizing Attention, a Transformer's Heart | Chapter 6, Deep Learning https://www.3blue1brown.com/lessons/attention AIの中身と言える大規模言語モデルのベースとなる仕事は「文章を読んで次に続く単語を予測する」というものです。 文章は「トークン」という単位に分解され、大規模言語モデルではこのトークン単位で処理を行います。実際には単語ごとに1トークンという訳ではありませんが、3Blue1Brownは単純化して

あいかわらず掛算の順序の話がもりあがってるようなのだけど、コーディングルールの話なんだから計算の定義の話をしても徒労だよなと思いながら見ていた。 で、ちょっと教育指導要領解説を見てみたのでまとめる。 学習指導要領解説の記述 「【算数編】小学校学習指導要領（平成29年告示）解説」では次のようになっています。順序は表現のときの問題で、計算では交換則を使っていいとなっています。 被乗数と乗数の順序は、「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方、乗法の計算の結果を求める場合には、交換法則を必要に応じて活用し、被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。 このPDFの115ページ。 https://www.mext.go.jp/content/20211102-mxt_kyoiku02-100002607_04.pdf

このコーナーでは、2014年から先端テクノロジーの研究を論文単位で記事にしているWebメディア「Seamless」（シームレス）を主宰する山下裕毅氏が執筆。新規性の高い科学論文を山下氏がピックアップし、解説する。 Twitter: ＠shiropen2 カナダの研究所Perimeter Institute for Theoretical Physicsとエジンバラ大学に所属する研究者らが発表した論文「The Penrose Tiling is a Quantum Error-Correcting Code」は、繰り返さないパターンである「ペンローズ・タイリング」が、量子コンピュータの誤り訂正に応用できることを提案した研究報告である。 量子コンピュータは量子力学の原理を利用することで、従来のコンピュータでは解くことが難しい問題を高速に解くことができる。しかし、量子情報は環境ノイズからの影響に

本書ではTypeScriptの型と部分型関係がなす代数的構造を解説し、型についての強固かつ柔軟なメンタルモデルを構築します。 順序理論、集合論、束論、環論、そして圏論に至るまで、複数の数学理論を利用して多角的にモデルを構築することで、型の直感的な理解を深め、型の互換性に対する自然な推論を可能となるように解説した新しい試みの本です。

エーレンフェストの壺と不可逆性

仏紙「ル・モンド」は2023年5月、米スタンフォード大学の数学教授である時枝をこう評した。 「数学者は2つのグループに分けられがちだ。黒板にチョークで数式を書く理論派とプラスチックのシートにフェルトペンで書き込む応用数学者──しかし、日本の時枝正は第三のカテゴリーに属している」 ル・モンドは、パリのアンリ・ポアンカレ研究所での時枝の講義に注目する。彼は数学や物理学における古典的な内容を取り扱う際に、チョークではなく大きなコインを用意し、それで理論を視覚的に伝えているのだ。 時枝が注目される理由は、「わかりやすく数学を広める」という彼の特殊能力にある。シンプルな道具を使い、深淵な数学理論を親しみやすく解説するその手法は「手品のよう」とも形容される。 時枝の経歴もまた非常にユニークだ。もともと彼は画家としての将来を嘱望されるほど絵画に長けていた。日本を離れ、フランスに発ったのは14歳のころ。「

動機 最近、chatGPTにいろいろ尋ねるのが流行っているらしい。Haskellで有名なモナドの概念がなぜ導入されたか尋ねている人を見かけて、そういやそういう記事見たことないなと思ったので適当に調べた。 一次ソース 元ネタは以下のマイナーだと思われる文献 An abstract view of programming languages Eugenio Moggi教授のあんま読まれてない方の論文 Denotational Semantics Peter D. Mosses教授のこの論文（2部あって後半の方） 邦訳があり邦訳で読んだ。 プログラミングのモナド発見の経緯 プログラミングのモナドはなんか包んだり抜き出したり見たいな感じの概念で知られてますが、プログラミングの概念をモジュール化する機構云々の開発の前段階がある。そもそもリストだかIOだか例外処理だかの概念をそれぞれ一つのモジュールに

ConwayLife.comというのはライフゲームを中心としたセル・オートマトンに関する話題が集められているコミュニティで、フォーラムでは新しいパターンの発見報告などが日々盛んにおこなわれています。 そんなフォーラムでは、時々「そんなことできるの！？」というようなプロジェクトが立ち上げられては偉業が達成されていくので、今回は今回はその中から本当にヤバいプロジェクトを3つ紹介したいと思います。 Spacefillerの合成ライフゲームにおいて盛んに研究されている内容として、「グライダーの衝突による特定パターンの合成」があります。 ☝例：大きめの固定物体の合成この類の研究の集大成のようなプロジェクト(多分)として、Spacefillerの合成が行われていました。 Spacefillerというのは、ひとつながりのパターンを平面全体を埋め尽くすように無限に成長させ続けるパターンの総称です。

はじめに このブログに書かれていること 自己紹介 注意 Part3 現代の暗号 共通鍵暗号方式と鍵配送問題 鍵配送問題とは？ 共通鍵暗号方式と公開鍵暗号方式の違いとメリット・デメリット RSA暗号 RSAで使われる鍵 処理手順 暗号化の手順 復号の手順 RSA暗号の数学的背景 一次不定式が自然数解を持つ理由 eとLの関係性 そもそもなぜこの式で元の平文に戻るのか？の数学的根拠 証明パート１ フェルマーの小定理 中国剰余定理 RSA暗号をPythonで 楕円曲線暗号 楕円曲線とは？ 楕円曲線の式 楕円曲線における足し算の定義 楕円曲線における引き算の定義 無限遠点 楕円曲線における分配法則と交換法則 楕円曲線の加法を式で表現 点Pと点Qが異なる場合 点Pと点P 同じ点を足し合わせる場合 有限体 有限体とは？ 有限体上の楕円曲線 楕円曲線暗号における鍵 ECDH鍵共有 数式ベースでの手順説明

全３回のシリーズパート２の本記事では、GPTの能力と可能性をAttention/Transformerの仕組みをふまえて考察します。 というつもりでしたが、凄く長くなってしまったのでパート2は以下の3回に分けようと思います。 （2.1）各技術の定性的な説明（本記事） （2.2）Transformerのアルゴリズム詳細 （2.3）GPTの能力と可能性について 2.1 各技術の定性的な説明 自然言語の構造を考えてみる まず我々が使う言語についてちょっと振り返るところから話を始めましょう。 文や文章は、おおもとのデータである文字から始まって、単語、文節、句、節、文、文章、さらにその上の意味、という風に階層的な構造を持っていると我々は概念的に認識してますよね。 構文の階層 そして、各階層や階層間には、文法や語法といった言葉のルールがあります。 深層学習はその名の通り、層を深くしたニューラルネットワ

今回エントリーするのは、山本芳彦『数論入門』岩波書店だ。この本は以前にも、このエントリーで紹介しているが、今回は違う観点から推薦したいと思う。 数論入門 (現代数学への入門) 作者:山本 芳彦 岩波書店 Amazon ゆえあって、最近またこの本を読み始めたのだが、面白くて遂にほぼ全部読んでもうた。そして全体を読破すると、この本がもくろんでいること、この本の特質がひしひしつと伝わってきた。ひとくちに言えば、この本は、「ドラマの優れた総集編を観るようなすばらしい内容」ということなのだ。 ドラマの総集編って、全12話を4話ぐらいでかいつまむ。もちろん、圧縮しているので、カットされたエピソードもあるし、ナレーションで進めちゃう場面もあるし、スルーされるキャラもある。でも、優れた総集編では、本編より本質が浮き彫りになり、面白さが倍増になることも多い。この本は、数論の総集編として、そのメリットがみごと

// 割る2をする関数の引数が偶数であることを型によって強制する例（実用性はない） data O // 数字の0を表すデータ型 data S(A) forall { A } // +1を表すデータ型 // 型エイリアス type Nat = O | S[Nat] // 非効率すぎる他倍長整数 type Even = O | S[Odd] type Odd = S[Even] // 偶数を引数にとって2で割った結果を言語組込みの整数として返す関数 div2 : Even -> I64 = // 網羅性チェックつきのパターンマッチ | O => 0 | S(S(n)) => 1 + n.div2 TL;DR ユニオン型は直和型の上位互換である（追記あり）。関数型言語を作るときは直和型の代わりにユニオン型を採用するのもあり。 はじめに Cottonというプログラミング言語を2021年の夏頃から作

この記事はFOLIO Advent Calendar 2022の23日目です。 ソフトウェア2.0 ソフトウェア2.0 という新しいプログラミングのパラダイムがあります。これは Tesla 社のAIのシニアディレクターだった Andrej Karpathy が自身のブログ記事（"Software 2.0"）で提唱した概念で、 ニューラルネットワーク のような最適化を伴うプログラムを例に説明されています。 従来のプログラム（Software 1.0）は人間が命令に基づいたプログラムを作成し、望ましい挙動を行わせます。それに対してニューラルネットワークのようなプログラム（Software 2.0）では人間はある程度の自由度をパラメータという形で残したプログラムを作成し、「入出力のペア」や「囲碁に勝つ」というような教師データや目的を与えてプログラムを探索させるというものです。 画像出典: "So