こんにちは、大学 1 年生になったばかりの E869120 です。 私は競技プログラミングが趣味で、AtCoder や日本情報オリンピックなどに出場しています。ちなみに、2021 年 4 月 7 日現在、AtCoder では赤（レッドコーダー）です。 本記事では、アルゴリズムの学習や競技プログラミングで使える数学的な部分を総整理し、それらについて解説したいと思います。前編・中編では数学的知識、後編（2021/4/26 公開予定）では数学的考察の側面から書いていきます。 【シリーズ】 アルゴリズム・AtCoder のための数学【前編：数学的知識編①】　←　本記事 アルゴリズム・AtCoder のための数学【中編：数学的知識編②】 アルゴリズム・AtCoder のための数学【後編：数学的考察編】 1. はじめに 21 世紀も中盤に入り、情報化社会（いわゆる「IT 化」）が急激に進行していく中、

ここでは、高校数学で学ぶ「必要十分条件」という考え方について、その意味と覚え方を分かりやすく解説していきます。 必要十分条件という考え方に対しては、苦手意識を持っている方も多いのではないでしょうか。ゴリゴリ計算する他の数学分野とは異なり、より論理的な思考力が求められる分野であるため、「よく分からない」とあきらめてしまいがちな概念です。 一方で、必要十分条件の考え方を理解し、使いこなすことができるようになると、高校生ならずとも社会人でも、他者に対し論理的に状況を説明・共有することができる大変便利な概念でもあります。 一見すると何を言っているのか分かりにくい分野ですが、その理解に必要な本質は驚くほど単純です。 そして、その本質を抑えてしまえば、入試問題はワンパターンに見えてきますし、日常生活でも実用性の高い考え方となっています。 そこで、ここでは、数学が苦手な方でも直感的に「必要十分条件」の本

現在の日本の生涯未婚率によると、男性の4人に1人、女性の7人に1人は50歳まで一度も結婚したことがなく、そうした人たちの割合は今後も増えていくそうです（出典: ハフィントンポスト）。原因は様々あるようですが、やはり**「適当な相手にめぐり合わない」**という理由は上位に来るようです。 ですが、適当な相手とは、一体全体どういう相手なのでしょうか？ 年収、容姿、性格、家、などなど人によって様々相手に求める条件があるものですが、「人の出会いは一期一会」ともいうように、いい相手とめぐり合えたとしても「もしかしたら今後もっといい人と会えるかも……」などとうじうじしているうちに、機会を逃すことも多いかもしれません（涙 この問題は、結婚相手を探しているA君がいるとすると、 A君は、これから結婚相手の候補となるN人と女性と出会う 候補となる相手は、１人ずつ次々に現れる 候補となる相手は、それぞれ違うスコア

こんにちは，学生エンジニアの迫佑樹(@yuki_99_s)です． 高校2年生で習う数学の1つに，『相加相乗平均』の関係というものがあります． 初めて「平均」という単語が出て来たのは小学校の時でした． あの頃は，単純に総和を求めて，個数で割ってあげたものを『平均』と呼んでいましたね 高校ではそれを，『相加平均』と呼んでいます． さて，わざわざ『平均』を『相加平均』に言い方を変えたということは，なにかあるはずです． ここでもう1つ現れる平均が『相乗平均』と呼ばれるもの 相乗平均の例として出した今回の問題をみても分かるように，縦と横の長さが異なるものを均一化しようとしているので，これも一種の平均なわけです． 整理すると，aとbの相加平均及び相乗平均はこのようになります． 先ほど，4と9の相加平均は6.5で，4と9の相乗平均は6となっていたように，『相加平均は常に相乗平均以上である』というのが『相

中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません．なぜこれが成り立つんですか？」 先生「分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね．つまり， 1/3 = 0.333333... です．両辺を 3 倍すれば 1 = 0.999999... になります」 中学生「ちょっと待って下さい！まず 1/3 = 0.333333... っていうのはなんですか？」 先生「1 ÷ 3 を筆算してみればわかるように，商の部分には最初の 0. のあとは ず〜っと 3 が続きます．その様子を表現したのが 0.333333... です」 中学生「なるほど，ただの表記法ということですね．でもその場合，0.333333... を 3 倍したのが 0.999999... になるのはどうしてですか？」 先生「例えば，0.333 の場合で考えてみましょう．これを 3 倍したら 0.999 ですよね

※文字がズレて読みにくい場合は↓こちらの画像が分かりやすいかも https://livedoor.blogimg.jp/worldfusigi/imgs/d/b/dbc611a.png 足し算の定義：0と－が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ 0の定義：a＋0＝a －の定義：－a＋a＝0 結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c） 交換法則：a＋b＝b＋a 掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ 1の定義：a×1＝a 結合法則：a×b×c＝a×（b×c） 分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c これらの定義だけを使って（－1）×（－1）＝1を証明することができます （－1）×（－1） ＝（－1）×（－1）＋0　　　　　　　　※0の定義 ＝（－1）×（－1）＋（－1＋1）　　　※－の定義 ＝（－1）×（－1）＋（－1）＋1

「ベータ分布の謎に迫る」第6回 プログラマのための数学勉強会 発表資料 (2016/3/19[sat]) 確率・統計を学んだことがある方向けに、ベータ分布とは何かを解説してみた記事です。特にベイズ統計学を学んでいるとベータ分布が出現しますが、いまいちどんな事象が対応している分布かわかりにくいので、その辺りに迫ります。

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コンプガチャが話題になっています。 コンプガチャにハマりやすい理由として「最初は当たりやすいが、だんだん確率が低くなる」という指摘があります。 なぜ「確率が低くなる」という現象おきるのでしょうか。 この記事ではコンプガチャの裏側にある確率マジックを分かりやすく解説します。 サイコロの面を全部そろえるゲーム いちばん身近な確率といえばサイコロです。 サイコロを使ったこんなゲームを考えてみます。 サイコロ コンプのルールサイコロを 1 回振るには 10 円が必要。6 つの面をすべてを出せば、500ml のペットボトル飲料をプレゼント。 「サイコロの 6 つの面をすべてコンプしよう」というゲームなので、シンプルな「コンプガチャ」といえます。 このゲーム、あなたなら参加しますか？ 6 つの面を全部だせばよいので、運がよければ 6 回（60円）でペットボトルが手に入ります。なんだかお得そうです。 た

twitter をみていたら、こんなツイートが回ってきました。 モバゲー・GREEが確率明示しないのは、搾り取るためというよりは、クレーム対応減らすため。1％でSR、って書くと「100回引いたのに出ない。詐欺だ」。確率だから、って説明すると彼らはこう返す「だから、100回に1回出るんでしょ？」…さあ、どう返そうか。 — saintear/セインティアさん (@saintearRX) 5月 6, 2012 たしかに「1% のガチャを 100 回引いたら当たる」と思い込んでしまう人は多そうです。 では、1% のガチャを 100 回引くと、どれぐらいの人が当たり、どれぐらいの人が当たらないのでしょうか。 1% のガチャを 100 回引いて当たらない確率は？ さっそく計算してみましょう。 1 回ガチャを引いて当たらない確率は です。当たる確率は = 1% です。 2 回ガチャを引いたときに、1 度

あらゆるスポーツはデータ分析によって評価されています。今回はサッカーです。 調べてみた結果、試合のゴール数はポアソン分布（正規分布）に従うと仮定できるそうで、簡単そうなのでやってみます。 ※かなり前に実験してみた結果なので、その辺はご容赦下さい。 ポアソン分布とは ポアソン分布は平均値を変数として使用することで、ある事象が起こる確率を求めることができます。 今回の場合、λに平均得点、kに得点の０点～３点を代入します。 例えば、２０１５年サンフレッチェ広島は1ゲームあたり平均2.03ゴールを得点する可能性があります。この情報をポアソン方程式に当てはめると、広島が試合で0ゴールになる確率は13%、1ゴールは27%、2ゴールは27%、3ゴールは18%になります。簡単ですね。 しかしながら、サッカーは対戦相手あってのものです。単純に、これをそのまま利用するのは適切ではありません。 検証する対象試合

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。（7日目：京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo） ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。 「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画が見つかるのです。ぜひお時間あるときに試してみてください。 日曜数学 Advent Calendar ８日目の本日は、そんなニコニコ動画で見つけた動画から１つ、みなさんにご紹介したいと思います。 今回ご紹介したいのは、初音ミクが歌うボカロ曲です。タイトルは 「 を で割ったあまりは？」 です。そのタイトル通り、まさに数学の問題をテーマとした珍しい曲です。まずは、ぜひリンク先の動画をご覧ください。 tsujimotter は、心地よいメロディーが素敵な曲だと思いました。この記事を書いている最中、バッ

「明日話したくなる科学豆知識2」 http://www.adventar.org/calendars/513 というのがあったので、対抗して作りました。 専門で数学を学んでいる方でも、数学が趣味という方でもかまいません。協力者は空きがある限り募集中♪ 「数学��」というテーマ以外は、特に縛りはもうけませんので、興味のある方どうぞ。

この記事は明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダーの24日目の記事です。（23日目：モンストラス・ムーンシャイン） どうも、taketo1024です。tsujimotterさんの熱い数学記事を読んでいたら胸が高まり、我慢できずブログを開設し記事を書かせて頂くことにしました。アドベントカレンダーの24日目という重要な日を頂いてしまい恐縮です。 この記事では10月に発表した「虚数は作れる！Swiftで学ぶ複素数」と同じ内容を、プログラミングではなく数学の話として書いてみようと思います。 複素数とは？ 皆さんは複素数をどのように習いましたか？ 二乗すると になる「想像上の数」を として、 であらわされる数を「複素数」と呼ぶ。複素数には実数と同様に四則演算が定義され、実数全体は直線であらわされるのに対して、複素数全体は2次元の平面を成す。これが実数を拡張した「数」だというのです。 「マイナス

この記事は明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダーの4日目の記事です。（3日目：一時期話題になった素数のスモールギャップに関するプレプリントについて ） 今日は数の呼び方について書いてみる．あまり高度な話ではない．1.414...とか3.14...を人に伝える時に何と表現するかという問題である． まず数の基本は自然数である．自然数は個数を数える時に出現する数であるため，負の数や分数は含まれない． ところが数の差を述べたいときには負の数を含んだ整数が欲しくなる．負の数は自然数ではないが，自然数で表現することが可能である．例えば 3-5=-2 であるので，2つ組 (3,5) で -2 を意味すると考えれば負の数は自然数で表現できる． 同様に分数，つまり有理数を表現するには，整数 p, q の2つ組 (p,q) で p/qを表すことにすればよい．例えば6.5という数を人に伝えようとするなら

この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 7日目の記事です。（６日目：ほとんどいたるところ） 無理数とは、有理数でない数のことです。 有理数とは のように分数（分母がゼロでない整数の比）で表せる数のことですね。 分母が　 になってもいいので、 や のような整数も有理数です。 無理数の例としては、 だとか だとか だとかがあるかと思います。 もちろんほかにもうんざりするほどありますよ。 なんたって、数直線上を適当に指したときに、その指の先が示す数は、ほぼ間違いなく無理数です（図１）。無理数のほうが有理数よりはるかに多いのです。 図１：「数直線上のほとんどの点は無理数」のイメージ さて、この無理数という数は非常に厄介な数です。 無理数の条件というのは、基本的には「有理数ではない」ということだけなので「すべての無理数がどんな数であるか」という問いに対しては、あまり気の利いた

「マイナンバーが素数だったら嬉しいな！素数だったら絶対ツイッターで呟いて自慢しよう！」と思ってた阿呆なぼくがその確率の低さを理解したまとめ。 素数になる確率は？ その後は余談。12ケタって冗長に感じる！素数だという情報の価値は？