理想中(圖左)電子在導體中以平均分佈的方式傳導流通,集膚效應(圖右)則是電子集中在導體的近外膚位置上流通,使橫切面的核心部位呈現空泛狀態,進而使電流輸送量減少。
集膚效應(又称趋肤效应或直譯作表皮效應,英语:Skin effect)是指导体中有交流电或者交变电磁场时,导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度呈指數衰減,即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看,导体的中心部分几乎没有电流流过,只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分,所以称为集膚效應。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场,与原来的电流相抵消。
集肤效应最早在英國應用數學家贺拉斯·兰姆(Horace Lamb)1883年發表的一份论文中提及,只限于球壳状的导体。1885年,英國物理學家奥利弗·赫维赛德(Oliver Heaviside)将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加,并导致导线传输电流时效率减低,耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。
当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时,随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度J呈指數衰減

其中,
是导体表面的电流密度,
表示电流与导体表面的距离,
是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数,称为集肤深度(skin depth)。

其中:
- ρ =导体的电阻率
- ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
- μ = 导体的磁导率 =
,其中
是真空磁导率,
是导体的相对磁导率
对于很长的圆柱形导体,比如导线来说,如果它的直径
比
大很多的话,它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为
的圆柱导体对直流电的电阻。

其中:
- L=导线的长度
- D=导线直径
具体来说,假设
是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流,
为截面上的总电流,那么有:
![{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e640d42347c4a8b9df85f2085e2b2004cd465b)
其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数(具体见下)。
考虑一个半径为a,长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場,則在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组,
麦克斯韦-法拉第方程:

麦克斯韦-安培方程:

其中:
在导体中,欧姆定律的微分形式为:

σ是导体的电导率。
我们假设导体是均匀的,于是导体各处的μ和σ都相同。于是有:


在圆柱坐标系(r, θ, z)(z为圆柱导体的轴心)中,设电磁波随z轴前进,由对称性,电流密度是一个只和r有关的函数:

取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度,就有:

也就是:

由之前对电流密度的假设,
,因此有:

在圆柱坐标系中,拉普拉斯算子
写作:

令
,再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程:

在进行代换
后,方程变为一个齐次的贝塞尔方程:

由电流密度在r = 0的连续性,方程的解具有
的形式,其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是:

其中j0是一个常数,k为:

其中δ是集肤深度,
,

最后,电流密度为:

其中ber和bei是0阶的开尔文-贝塞尔函数。
于是通过整个截面的电流总和就是:

记Ber和Bei为相应的原函数:

便有如下更简洁的形式:

我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和:
![{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a9cb5827793c611695150bf5ae768ce14c931)
于是有电流的分布函数:
![{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e640d42347c4a8b9df85f2085e2b2004cd465b)
一般来说,在给定的频率下,使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是:

以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线,交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。
一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线(源自德语:Litzendraht,意为“编织起来的线”)。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法,使得电磁场能够比较均匀地分布,这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后,产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中,可以同时减缓集肤效应和邻近效应。
高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线,这样能使铝质部分的工作部分温度降低,减低电阻率,并且由于集肤效应,电阻率较大的钢芯上承载极少的电流,因而无关紧要。
还有将实心导线换成空心导线管,中间补上绝缘材料的方法,这样可以减轻导线的重量。
在传输的频率在甚高频或微波级别时,一般会使用镀银(已知的除超导体外最好的导体)的导线,因为这时集肤深度非常的浅,使用更厚的银层已是浪费。
集肤效应使交流電只通过导体的表面,因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火,使钢材表面的硬度增大。
集肤效应也可以描述为:导体中变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减,因此在防晒霜中混入导体微粒(一般是氧化锌和氧化钛),就能使阳光中的紫外线(高频电磁波)的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外,集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一,利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置[1],这也是电梯里手机信号不好的原因。
頻率為10 GHz(微波)時各種材料的集膚深度:
導體 |
δ(μm)
|
鋁 |
0.80
|
銅 |
0.65
|
金 |
0.79
|
銀 |
0.64
|
在铜质导线中,集肤深度和频率的关系大致如下:
频率 |
δ
|
60 Hz |
8.57 mm
|
10 kHz |
0.66 mm
|
100 kHz |
0.21 mm
|
1 MHz |
66 µm
|
10 MHz |
21 µm
|
- William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
- Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
- Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above
- ^ 林漢年. 《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735.