Скин-эффект

Распределение плотности тока в цилиндрическом проводнике в поперечном сечении. Для переменного тока плотность тока экспоненциально убывает от поверхности вглубь проводника. Толщина скин-слоя $\delta$ определяется как глубина от поверхности, на которой плотность тока уменьшается до $1/e$ (около 37 %) от значения на поверхности. Эта толщина зависит от частоты тока и электрических и магнитных свойств проводника.

Пове́рхностный эффе́кт, скин-эффект — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Объяснение поверхностного эффекта

Физическая картина возникновения

Механизм возникновения скин-эффекта. Переменный ток в проводнике порождает переменное вихревое магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны к оси проводника За счёт электромагнитной индукции переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, вызывающее протекание вихревого тока Фуко, причём на поверхности проводника вихревой ток направлен по направлению тока проводника, а внутри проводника — противоположно. Это явление снижает ток в сердцевине проводника и увеличивает поверхностный ток.

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции:

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.

Уравнение, описывающее скин-эффект

Исходим из уравнения Максвелла:

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mathbf {j}$

и выражения для $\mathbf {j}$ по закону Ома:

$\mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} .$

Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:

$\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},$

$-\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},$

здесь $\gamma$ — удельная проводимость материала проводника, $\gamma =1/\rho ,\ \$ $\rho$ — удельное сопротивление материала проводника.

Поскольку $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E}$ и $\operatorname {div} \mathbf {E} =0$ окончательно получаем:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$.

здесь $\mu$ — абсолютная магнитная проницаемость материала проводника, $\mu =\mu _{0}\mu _{m},\ \$ $\mu _{0}$ — магнитная проницаемость вакуума, $\mu _{m}$ — относительная магнитная проницаемость материала проводника.

Скин-эффект в бесконечном проводнике с плоской границей

Для упрощения решения предположим, что ток течёт вдоль оси $X$ по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство $y>0$. Поверхностью проводника является плоскость $Y=0.$ Таким образом:

$j_{x}=j_{x}(y,t),\qquad j_{y}=j_{z}=0,$

$E_{x}=E_{x}(y,t),\qquad E_{y}=E_{z}=0.$

Тогда:

${\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}=\mu \gamma {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}.$

В этом уравнении все величины гармонически зависят от $t,$ и можно положить:

$E_{x}(y,t)=E_{0}(y)e^{i\omega t},$

здесь $\omega$ — угловая частота.

Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для $E_{0}(y):$

${\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}}}=i\gamma \mu \omega E_{0}.$

Общее решение этого уравнения:

$E_{0}=A_{1}e^{-ky}+A_{2}e^{ky}.$

Учитывая, что $k={\sqrt {i\gamma \mu \omega }}=\alpha (1+i)$, где $\alpha ={\sqrt {\frac {\gamma \mu \omega }{2}}}$, находим:

$E_{0}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{-i\alpha y}+A_{2}e^{\alpha y}e^{i\alpha y}.$

При удалении от поверхности проводника ($y\rightarrow \infty$) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, $A_{2}=0$, и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:

$E_{x}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{i(\omega t-\alpha y)}.$

Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения $\mathbf {j} =\gamma \mathbf {E}$ к плотности тока, получим:

$j_{x}(y,t)=A_{1}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.$

Принимая во внимание, что $j_{x}(0,0)=j_{0}$ — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:

$j_{x}(y,t)=j_{0}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.$

Толщина скин-слоя

Зависимость глубины скин-слоя от частоты для различных материалов.
Материалы:
Mn-Zn – магнитомягкий марганцево-цинковый феррит марки 3C90 с начальной относительной магнитной проницаемостью 2300 (при 25 °C, 10 кГц) и удельным сопротивлением 5 Ом·м.
Al – алюминий, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = 2,7⋅10⁻⁸ Ом·м.
Cu – медь, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = 1,7⋅10⁻⁸ Ом·м.
Сталь 410 – ферромагнитная нержавеющая сталь 410, магнитная проницаемость 1000 и удельное сопротивление = 5,7⋅10⁻⁷ Ом·м.
Fe-Si – текстурированная электротехническая сталь (состав около 97% Fe и 3% Si), проницаемость = 29000 и удельное сопротивление = 5,0⋅10⁻⁸ Ом·м.
Fe-Ni – пермаллой (торговое наименование VACUUMSCHMELZE GmbH & Co. KG - Mumetall), проницаемость = 250 000 и удельное сопротивления = 5,5⋅10⁻⁷ Ом·м.
Красной вертикальной прямой отмечена частота 50 Гц.

Плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает экспоненциально и на глубине $\delta$ становится меньше в е раз (примерно на 70 %). Эта глубина называется толщиной скин-слоя и на основании приведённого выше равна:

$\Delta ={\sqrt {\frac {2}{\gamma \mu \omega }}}.$

Толщина скин-слоя в меди

Частота	$\delta ,$ мм	Примечания
50 Гц	9,34 мм	50 Гц — частота электросети в большинстве стран Евразии и Африки
60 Гц	8,53 мм	60 Гц — частота электросети в Северной, Центральной и частично Южной Америке
10 кГц	0,66 мм
100 кГц	0,21 мм
500 кГц	0,095 мм
1 МГц	0,067 мм
10 МГц	0,021 мм

Очевидно, что при достаточно большой частоте $\omega$ толщина скин-слоя может быть очень малой. Также из экспоненциального убывания плотности тока следует, что практически весь ток сосредоточен в слое толщиной в несколько $\delta$, так, уменьшение плотности тока в 100 раз происходит на глубине $\approx {\text{4,6}}\ \delta$, если общая толщина проводника многократно превышает толщину скин-слоя. В качестве примера в таблице приведена зависимость толщины скин-слоя от частоты для медного проводника.

Если проводник имеет ферромагнитные свойства, то толщина скин-слоя будет во много раз меньше. Например, для стали ($\mu _{m}\$= 1000) $\delta \$= 0,74 мм. Это имеет значение, например, при электрификации железных дорог, поскольку там стальные рельсы используются в качестве обратного провода.

Для расчёта толщины скин-слоя в металле можно использовать следующие приближённые формулы:

$\Delta =c{\sqrt {2{\frac {\varepsilon _{0}}{\omega \mu _{m}}}\rho }},$

здесь $\ \varepsilon _{0}$ = 8,85419⋅10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная, $\ \rho$ — удельное сопротивление, $\ c$ — скорость света, $\ \mu _{m}$ — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), $\ \omega =2\pi \cdot f,\ \$ $\ f\$ — частота.

Все величины выражены в системе СИ.

Практически удобная формула:

$\Delta =503{\sqrt {\frac {\rho }{\mu _{m}f}}}.$

Аномальный скин-эффект

Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако даже при комнатной температуре длина свободного пробега электрона для металлов сопоставима с глубиной скин-слоя — что говорит об аномальном характере эффекта. При очень низкой температуре ситуация только усугубляется: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.

Применение

На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ).

Благодаря скин-эффекту в высокочастотном магнитном поле теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет нагревать проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Это явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов, реализуемом на основе индукционного нагрева.

Помимо поверхностной закалки, в индукционном нагреве скин-эффект позволяет реализовать технологию индукционного удаления полимерных покрытий, широко используемую при ремонте магистральных нефте- и газопроводов, ремонте палубных покрытий морских судов и т. п.

Учёт эффекта в технике и борьба с ним

Скин-эффект проявляется существеннее с увеличением частоты переменного тока, и учитывается при конструировании и расчётах электрических схем, работающих на переменном и импульсном токах. Так как ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, общее активное сопротивление проводника возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты.

Скин-эффект влияет на характеристики катушек индуктивности и колебательных контуров, такие как добротность, на затухание в линиях передачи, на характеристики фильтров, на расчёты тепловых потерь и КПД, на выбор сечений проводников.

Для уменьшения влияния скин-эффекта применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Например, серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов и технологично для нанесения на металлические поверхности. Тонкий его слой, в котором из-за скин-эффекта и протекает бо́льшая часть тока, оказывает заметное снижение (до 10 %) активного сопротивления проводника. Однако, слой сульфида, образующийся на поверхности серебра, не проводит ток и не участвует в скин-эффекте, в отличие от слоя окиси-закиси на поверхности меди, обладающего заметной проводимостью, и имеет свойства полупроводника, и вносит дополнительные потери на высоких частотах.

Покрытие серебром также применяется в сверхвысокочастотном оборудовании, использующем колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передачи — волноводы. Кроме того, на таких частотах уделяют внимание снижению шероховатости поверхности с целью уменьшения длины пути протекания тока.

Также применяется и покрытие золотом, у которого слой окислов отсутствует. Напротив, покрытие никелем, оловом или оловянно-свинцовым припоем способно значительно, в несколько раз увеличить сопротивление медных проводников на высоких частотах.

Так, в ВЧ аппаратуре используют катушки индуктивности, намотанные из посеребрённого провода, часто серебрят печатные и проволочные проводники, поверхности экранов и обкладки конденсаторов. В высоковольтных линиях электропередач иногда применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечником, в мощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, по которым для охлаждения циркулирует дистиллированная вода.

Также с целью снижения скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — намоточный провод литцендрат.

При передаче больших мощностей на значительные расстояния применяются линии электропередачи постоянного тока — HVDC, постоянный ток не вызывает скин-эффекта.

Литература

• Матвеев А. Н. Параграф 53 // Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
• Власов A. A. Глава VI. Параграф 5 // Макроскопическая электродинамика. — 2-е изд.. — М.: Наука, 2005.
• Электромагнитная экранировка. Модель скин-эффекта / Гервидс, Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.