階数関数とは？わかりやすく解説

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階数関数

読み方：かいすうかんすう
【英】：rank function

独立集合族 $\mathcal{I} \,$ をもつ $N \,$ 上のマトロイド $\mathbf{M}=(N,\mathcal{I}) \,$ において, $\rho(X)=\max\{|I|\mid I\subseteq X,\, I \in\mathcal{I}\} \,$ で定められる関数 $\rho:2^N\to \mathbf{Z} \,$ を階数関数という. 階数関数 $\rho \,$ は次の (R0)--(R3) を満たしている:

(R0) $\rho(\emptyset)=0 \,$ ,

(R1) $\forall X\subseteq N \,$ : $\rho(X)\leq |X| \,$ ,

(R2) $X\subseteq Y \Rightarrow \rho(X)\leq\rho(Y) \,$ ,

(R3) $\forall X,Y\subseteq N \,$ : $\rho(X)+\rho(Y)\geq\rho(X\cap Y)+\rho(X\cup Y) \,$ .

逆に, (R0)-(R3) を満たす関数 $\rho \,$ によってマトロイドを定義することもできる.

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