平衡方程式とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 06:32 UTC 版)

「応力」の記事における「平衡方程式」の解説

外力F を受けて静的な釣り合い状態にある物体内部の任意の点では、その応力σは次の平衡方程式あるいはつりあい方程式を満たす。 ∂ σ x x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 , ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 , ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}&=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}&=0,\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+F_{z}&=0\end{aligned}}} あるいは次のような書き方もされる。 σ i j , j + F i = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 ) , div ⁡ σ + F = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{ij,j}+F_{i}=0,\quad (i=1,2,3),\\&\operatorname {div} \sigma +{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}\end{aligned}}} 応力場σが平衡方程式と、表面力規定境界∂Rt における境界条件（コーシーの式） t = σ T n , at ∂ R t {\displaystyle {\boldsymbol {t}}=\sigma ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {n}},\quad {\text{at}}\;\partial R_{t}} を満たすとき、その応力場σを静的に許容な場という。

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