作用素分割法とは？わかりやすく解説

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作用素分割法

読み方：さようそぶんかつほう
【英】：operator splitting method

写像 $F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n} \,$ と凸集合 $S \subseteq \mathbf{R}^{n} \,$ により定義される変分不等式問題

$\mbox{find} \quad x \in S \quad \mbox{s.t.} \quad ( z - x )^{\top} F(x) \geq 0, \quad \forall \, z \in S, \,$

に対する反復法. 条件 $F = G + H \,$ を満たす写像 $G \,$ , $H \,$ を選び, 変分不等式

$( z - x )^{\top} \left\{ G(x) + H( x^{(k)} ) \right\} \geq 0, \quad \forall \, z \in S, \,$

の解を $x^{(k+1)} \,$ とおいて点列 $\{ x^{(k)} \} \,$ を生成する. 特に, 写像 $G \,$ が分離可能な構造をもつとき, 大規模問題に対する効率的な並列アルゴリズムが得られる.

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