Гіпотенуза

Гіпотенуза (від грец. ὑποτείνουσα — розтягнута) — сторона прямокутного трикутника, яка лежить навпроти прямого кута.

Якщо треба підрахувати довжину гіпотенузи при відомих розмірах двох інших сторін, можна скористатися теоремою Піфагора.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$,

де $a,b$ — сторони трикутника.

Наприклад, якщо одна з інших сторін має довжину 3, а інша має довжину 4, то квадрат гіпотенузи $c^{2}=3^{2}+4^{2}=25$, а довжина гіпотенузи $c={\sqrt {25}}=5$.

Етимологія

Слово гіпотенуза походить від грецького ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (а саме γραμμή або πλευρά), що означає «[сторона], яка стягує прямий кут» (Аполлодор), ὑποτείνουσα hupoteinousa є активним дієприкметником теперішнього часу жіночого роду від дієслова ὑποτείνω hupo-teinō «тягнути внизу, підтягувати», від τείνω teinō «розтягувати». Номіналізованеἡ ὑποτείνουσα використовували для гіпотенузи трикутника в IV столітті до н. е. (Платон, Тімей 54d). Грецький термін запозичено в пізню латинську мову як hypotēnūsa. Написання з -e, як hypotenuse, має французьке походження (Естьєн де ла Рош, 1520).

Обчислення гіпотенузи

Довжину гіпотенузи можна обчислити за допомогою функції квадратного кореня, що випливає з теореми Піфагора. Якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) a і b, а довжину гіпотенузи — c, маємо

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Теорему Піфагора, а отже, й цю довжину, можна також вивести із теореми косинусів, врахувавши, що кут навпроти гіпотенузи дорівнює 90° і його косинус дорівнює 0:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Багато комп'ютерних мов підтримують стандартну функцію ISO C hypot(x,y), яка повертає відповідне значення. Функція розроблена так, щоб не допускати збою там, де просте обчислення може спричинити переповнення або антипереповнення, і може бути дещо точнішою, проте, іноді, значно повільнішою.

Деякі наукові калькулятори надають функцію для перетворення прямокутних координат у полярні. За заданими x і y вона повертає як довжину гіпотенузи, так і кут, який вона утворює з додатним напрямом осі x. Повернений кут зазвичай задається як atan2(y,x).

Тригонометричні співвідношення

За допомогою тригонометричних співвідношень можна отримати значення двох гострих кутів, $\alpha \,$ і $\beta \,$, прямокутного трикутника.

Для довжини гіпотенузи $c\,$ і катета $b\,$, співвідношення таке:

${\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,$

Тригонометрична обернена функція:

$\beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,$

де $\beta \,$ — кут, протилежний до катета $b\,$.

Прилеглий до катета $b\,$ кут $\alpha \,$ = 90° — $\beta \,$.

Можна також отримати значення кута $\beta \,$ з рівняння:

$\beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,$

де $a\,$ — інший катет.

Див. також

• Катет
• Теорема Піфагора
• Тригонометрія

Посилання

• Гіпотенуза в Енциклопедії математики [Архівовано 31 травня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Гіпотенуза(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.