Hipotenuza

Një trekëndësh kënddrejtë dhe hipotenuza e tij

Në gjeometri, një hipotenuzë është ana e një trekëndëshi kënddrejtë përballë këndit të drejtë . Është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi të tillë; dy brinjët e tjera më të shkurtra të një trekëndëshi të tillë quhen katete. Gjatësia e hipotenuzës mund të gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës, e cila thotë se katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së dy kateteve. Matematikisht, kjo mund të shkruhet si $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, ku a është gjatësia e njërit katet, b është gjatësia e katetit tjetër dhe c është gjatësia e hipotenuzës.

Për shembull, nëse njëra nga katetet ka një gjatësi prej 3 njësi dhe tjetra ka një gjatësi prej 4 njësi, atëherë katrorët e tyre mblidhen duke dhënë 25 = 9 + 16 = 3 × 3 + 4 × 4. Meqenëse 25 është katrori i hipotenuzës, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 25, domethënë 5. Me fjalë të tjera, nëse $a=3$ dhe $b=4$, atëherë $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5$ .

Vetitë dhe llogaritjet

Një trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzën c

Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është brinja që është përballë këndit të drejtë, ndërsa dy brinjët e tjera quhen katete . Gjatësia e hipotenuzës mund të llogaritet duke përdorur funksionin e rrënjës katrore të nënkuptuar nga teorema e Pitagorës. Duke përdorur funksionin e rrënjës katrore në të dy anët e ekuacionit, rezulton se

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Si pasojë e teoremës së Pitagorës, hipotenuza është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi kënddrejtë; domethënë, hipotenuza është më e gjatë se secila nga katetet e trekëndëshit. Për shembull, duke pasur parasysh gjatësinë e kateteve a = 5 dhe b = 12, atëherë shuma e kateteve në katror është (5 × 5) + (12 × 12) = 169, katrori i hipotenuzës. Kështu, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 169, e shënuar ${\sqrt {169}}$, që është e barabartë me 13.

Teorema e Pitagorës, dhe rrjedhimisht kjo gjatësi, mund të rrjedhë gjithashtu nga ligji i kosinuseve në trigonometri . Në një trekëndësh kënddrejtë, kosinusi i një këndi është raporti i katetit anash këndit dhe hipotenuzës. Për një kënd të drejtë γ (gama), ku kateti ngjitur është i barabartë me 0, kosinusi i γ gjithashtu është i barabartë me 0. Teorema e kosinusit pohon se $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta$ vlen për një kënd θ (theta). Duke vëzhguar se këndi përballë hipotenuzës është i drejtë dhe duke vërejtur se kosinusi i saj është 0, pra në këtë rast θ = γ = 90°:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}\implies c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Raportet trigonometrike

Me anë të raporteve trigonometrike, mund të merret vlera e dy këndeve, $\alpha \,$ dhe $\beta \,$, të trekëndëshit kënddrejtë.

Duke pasur parasysh gjatësinë e hipotenuzës $c\,$ dhe të një kateti $b\,$, raporti është:

${\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,$

Funksioni i anasjelltë trigonometrik është:

$\beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,$

në të cilën $\beta \,$ është këndi përballë katetit $b\,$ .

Këndi fqinj i katetit $b\,$ është $\alpha \,$ = 90° - $\beta \,$

Mund të merret edhe vlera e këndit $\beta \,$ nga ekuacioni:

$\beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,$

në të cilën $a\,$ është kateti tjetër.