வட்டம்

வட்டம் - விளக்கப்படம்

வட்டம் - விளக்கப்படம்

யூக்கிளிட்டின் கேத்திர கணிதப்படி, ஒரு வட்டம் ( Circle) என்பது, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியொன்றிலிருந்து சம அளவான தூரத்தில், ஒரே தளத்திலுள்ள புள்ளிகளின் கணமாகும். குறிக்கப்பட்ட புள்ளி அவ்வட்டத்தின் "மையம்" எனவும், சம அளவான தூரம் அதன் ஆரை எனவும் அழைக்கப்படும். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து எப்பொழுதும் சமதூரத்தில் இருக்குமாறு இயங்கும் ஒரு புள்ளியின் இயங்குவரையாகவும் வட்டத்தை வரையறுக்கலாம்.

வட்ட விலகலின் மதிப்பு பூச்சியமாகக் கொண்ட கூம்பு வெட்டாகவும் வட்டத்தைக் கொள்ளலாம். ஒரு நேர் கூம்பை அதன் அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளத்தால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகம் வட்டமாக இருக்கும்.

வட்டங்கள், அவை அமைந்துள்ள தளத்தை உட்புறம், வெளிப்புறம் என இரண்டாகப் பிரிக்கும் எளிமையான மூடிய வளைவுகளாகும். எல்லா வட்டங்களும் வடிவொத்தவை; அதனால், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவும், அதன் ஆரையும் விகிதசமனானவை, அதுபோலவே, வட்டத்தின் பரப்பளவும் அதன் ஆரையின் வர்க்கத்துக்கு விகிதசமனானது. இவ் விகிதசமனின் மாறிலிகள் முறையே 2πயும் πயுமாகும். வட்டத்தின் சுற்றளவு "பரிதி" எனப்படும். வட்டத்தைக் குறிக்க தமிழர்கள் பரிதி என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தி உள்ளனர்.

சமன்பாடுகள்

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை

• கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில், (x₀, y₀) என்பதால் குறிக்கப்படும் புள்ளியை மையமாகவும், r என்பதை ஆரையாகவும் கொண்ட வட்டமொன்றிலமைந்துள்ள (x, y) ஆல் குறிக்கப்படும் எல்லாப் புள்ளிகளும் பின்வரும் சமன்பாட்டால் தரப்படும்:

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0}){^{2}}=r^{2}$

• வட்டத்தின் மையப் புள்ளி (0, 0) ஆக இருப்பின், இச் சமன்பாடு பின்வருமாறு அமையும்:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

(0, 0) வை மையமாகக் கொண்ட 1 அலகு ஆரையுடைய வட்டம் அலகு வட்டம் எனப்படும். இதன் சமன்பாடு:

$x^{2}+y^{2}=1$

• துணையலகு வடிவில்:

முக்கோணவியல் சார்புகள் சைன் மற்றும் கொசைன்களாலான துணையலகுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படும் வட்டத்தின் சமன்பாடு:

$x=a+r\,\cos t,\,$

$y=b+r\,\sin t\,$

இங்கு t துணையலகு மாறி; இதன் மதிப்பு 0 - 2π வரை அமையும்; வடிவவியலாக இது (a, b) லிருந்து (x, y) ஐ இணைக்கும் கதிர் x-அச்சுடன் உண்டாக்கும் கோணம்.

துணையலகு வாயிலாக மற்றொரு சமன்பாடு:

$x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,$

$y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\,$

இதில் t : r என்பது x-அச்சுக்கு இணையாக வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் மீதான வட்டத்தின் திண்மவரைபட வீழலாகும் (Stereographic projection).

• விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் மூலமாக:

ஒரு விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (x_1, y_1) , (x_2, y_2) எனில் அவ்வட்டத்தின் சமன்பாடு:

$(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$

• சிறப்பு வகை கூம்புவெட்டாக:

இரு மாறிகளில் அமைந்த இருபடிச்சமன்பாடு,

$ax^{2}+by^{2}+2hxy+2gx+2fy+c=0$ பொதுவாக ஒரு கூம்பு வெட்டைக் குறிக்கும்.

வட்டத்தின் வட்டவிலகல் பூச்சியமாதலால் மேற்காணும் கூம்புவெட்டின் சமன்பாடு வட்டத்தைக் குறிக்கும்போது,

$a=b,h=0$ ஆக இருக்கும். எனவே வட்டத்தின் சமன்பாடு

$ax^{2}+ay^{2}+2gx+2fy+c=0.\,$ ஆகும். இதனை மேலும்

$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ என்ற வடிவிற்கு மாற்றலாம்.

$(x-g)^{2}+(y-f)^{2}=({\sqrt {g^{2}+f^{2}-c}}){^{2}}$ என இச்சமன்பாட்டைச் சுருக்க வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம்:

மையம்: $(-g,-f)$

ஆரம்: ${\sqrt {g^{2}+f^{2}-c}}$

போலார் ஆள்கூற்று முறைமை

போலார் ஆள்கூற்று முறைமையில் வட்டத்தின் சமன்பாடு:

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,$

இதில் வட்டத்தின் ஆரம் a; வட்டத்தின் மீதமைந்த ஏதேனும் ஒரு பொதுப்புள்ளியின் போலார் ஆயதொலைகள் $(r,\theta )$; வட்ட மையத்தின் போலார் ஆயதொலைவுகள் $(r_{0},\phi )$; r₀ என்பது ஆதிப்புள்ளிக்கும் வட்ட மையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரம்; φ என்பது வட்ட மையத்தையும் ஆதிப்புள்ளியையும் இணைக்கும் கோடானது x-அச்சின் நேர்திசையுடன் உண்டாக்கும் கோண அளவு (இக்கோணம் எதிர் கடிகாரதிசையில் அளக்கப்படுகிறது)

இச்சமன்பாட்டிலிருந்து r இன் மதிப்பு:

$r=r_{0}\cos(\theta -\phi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},$

இதில் வர்க்கமூலத்திற்கு முன் வரக்கூடிய நேர் (+) மற்றும் எதிர்க் குறிகளுக்குக் (-) கிடைக்கும் இதன் வளைவரைகள் ஒன்றாகவே இருக்கும்.

• வட்ட மையம் ஆதிப்புள்ளியாக இருந்தால், அதாவது r₀ = 0, எனில் இச்சமன்பாடு :$r=a$ ஆக மாறுகிறது.
• r₀ = a, அதாவது ஆதிப்புள்ளி வட்டத்தின் மீதமைந்தால் சமன்பாடு:

$r=2a\cos(\theta -\phi ).\,$

சிக்கலெண் தளத்தில்

சிக்கலெண் தளத்தில் மையம் c மற்றும் ஆரம் (r) கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு:

$|z-c|^{2}=r^{2}\,$.

இது துணையலகு வடிவில் கீழுள்ளவாறு அமையும்:

$z=re^{it}+c$.

$pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q$ (p, q மெய்யெண்கள்; g சிக்கலெண்) எனும் சமன்பாடு சிலசமயங்களில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது.

வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறு விரித்து எழுதி, அது பொதுமைப்படுத்த வட்டத்தின் சமன்பாட்டுடன் ஒத்துள்ளதைக் காண முடியும்:

$|z-c|^{2}==r^{2}\,$

$z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}=r^{2}\,$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டத்துடன் ஒப்பிட,

$p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}$,

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்கள் எப்பொழுதுமே வட்டங்களாக இருக்காது. அவை வட்டங்களாகவோ அல்லது கோடுகளாவோ அமைகின்றன.

வட்டத்தின் சுற்றளவு

வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் விட்டத்திற்குமுள்ள விகிதம் π (pi), ஒரு விகிதமுறா மாறிலி; அதன் மதிப்பு தோராயமாக 3.141592654. வட்டத்தின் சுற்றளவு C; விட்டம் d; ஆரம் r எனில்:

${\frac {C}{d}}=\pi$

$C=\pi d=2\pi r$

வட்டத்தின் பரப்பளவு

வட்டத்தால் உள்ளடக்கப்பட்ட பரப்பளவு = π × நிழலிடப்பட்ட வட்டத்தின் பரப்பு

வட்டத்தின் பரப்பளவானது, வட்டத்தின் சுற்றளவை அடிப்பக்கமாகவும் ஆரத்தைக் குத்துயரமாகவும் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்குச் சமமென ஆர்க்கிமிடீசால் நிறுவப்பட்டுள்ளது. எனவே வட்டத்தின் பரப்பளவு A:

$A={\frac {1}{2}}(2\pi r)(r).\,$

$A=\pi r^{2}.\,$

$A={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}$

அதாவது d பக்க அளவுள்ள சுற்றுச்சதுரத்தின் பரப்பளவில் 79சதவீதம். கணக்குபாடங்களில் நம் நாட்டு மாணவர்கள் மற்ற நாட்டு மாணவர்களிடமிருந்து வித்தியாசப்படுகிறார்கள், எப்படி என்றால், மற்ற நாடுகளில் பள்ளிக்குச் சென்று முறையாகக் கற்றால் தான் கணிதம் பயில முடியும். ஆனால், இந்தியாவில் சில நடைமுறைப் பயிற்சிகளாலேயே பாமரர்கள் கூடக் கணக்கில் புலிகளாக உலா வருவதைக் காண்கிறோம். வட்ட வடிவ நிலத்தின் பரப்பளவை காண, "காக்கைப்பாடினியம்" என்ற தொன்மையான நூலில் செய்யுள் வடிவிலேயே விளக்கியுள்ளனர்.

"வட்டத்து அரை கொண்டு விட்டத்து அரை ஆக்க

சட்டெனத் தோன்றுங் குழி" - காக்கைப் பாடினியம் 46:49

விளக்கம்: இதன்படி, வட்டத்தரைச் சுற்றளவு, $\pi d^{2}$

விட்டத்தரை = அரைவிட்டம் = $d/2$ இதன்படி, வட்டத்தின்பரப்பளவு, $(\pi d^{2})/4$

குழி என்பது பரப்பைக் குறிக்கும் சொல்.

பண்புகள்

• தரப்பட்ட சுற்றளவைக் கொண்டு வரையக்கூடிய வடிவங்களில் மிக அதிக பரப்பளவுடையது வட்டம்.
• வட்டம் அதிக சமச்சீருடைய வடிவம்: வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும் ஒவ்வொரு கோடும் பிரதிபலிப்பின் சமச்சீர் அச்சு; மையத்தைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும் அனைத்து கோணஅளவு சுழற்சிகளுக்கும் சுழற்சிச் சமச்சீர் உடையது; இதன் சமச்சீர் குலம், செங்குத்துக் குலம் -O(2,R) ஆகும். சுழற்சிகளின் குலம், வட்டக் குலம் T.
• அனைத்து வட்டங்களும் வடிவொத்தவை.
  • ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவும் ஆரமும் நேர்விகிதத்தில் இருக்கும். அந்நேர்விகித மாறிலி 2π.
  • ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவும் ஆரத்தின் நேர்விகிதத்தில் இருக்கும். அந்நேர்விகித மாறிலி π.
• ஆதிப்புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு ஓரலகு ஆரமுடைய வட்டம் அலகு வட்டம் எனப்படும்.
• தரப்பட்ட, ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று புள்ளிகளின் வழியாக ஒரேயொரு வட்டமே வரையலாம். கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் அம்மூன்று புள்ளிகளின் ஆயதொலைவுகளின் வாயிலாக வட்டத்தின் மையத்தையும் ஆரத்தையும் காணும் வாய்ப்பாட்டைத் தரமுடியும்.

நாண்கள்

• வட்டத்தின் நாண்கள் சம நீளமுள்ளவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவை வட்ட மையத்திலிருந்து சமதூரத்தில் அமையும்.
• ஒரு நாணின் நடுக்குத்துக்கோடு வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும். நடுக்குத்துக்கோட்டின் தனித்தன்மையிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகள் எழுகின்றன:
  • வட்ட மையத்திலிருந்து நாணுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு நாணை இருசமக்கூறிடும்.
  • ஒரு நாணை இருசமக் கூறிடும் கோடு வட்ட மையத்திலிருந்து வரையப்பட்டிருந்தால் அக்கோடு அந்த நாணுக்குச் செங்குத்தாகும்.
• வட்டத்தின் ஒரே நாணால் அந்நாணின் ஒரே பக்கத்தில் வட்ட மையக்கோணமும் உட்கோணமும் தாங்கப்பட்டால், வட்ட மையக்கோணமானது உட்கோணத்தைப் போல இரு மடங்காகும்.
• வட்டத்தின் ஒரே நாணால் அந்நாணின் ஒரே பக்கத்தில் தாங்கப்படும் இரு உட்கோணங்கள் சமமாகும்.
• வட்டத்தின் ஒரே நாணால் அந்நாணின் எதிர்ப்பக்கங்களில் தாங்கப்படும் இரு உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்களாகும்.
  • ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் வெளிக்கோணம் அதன் எதிர் உட்கோணத்திற்குச் சமம்.
• ஒரு விட்டத்தால் வட்டத்தின் மேலமையும் ஒரு புள்ளியில் தாங்கப்படும் கோணம் செங்கோணம்.
• வட்டத்தின் மிகப்பெரிய நாண் விட்டம்.
• ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் இரு நாண்களில் ஒன்று a , b நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றது c , d நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் வெட்டப்படுமானால் ab = cd.
• ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் இரு செங்குத்து நாண்களில் ஒன்று a , b நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றது c , d நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் வெட்டப்படுமானல் a² + b² + c² + d² இன் மதிப்பு விட்டத்தின் வர்க்கமாகும்.

தொடுகோடு

• ஒரு ஆரத்தின் வட்டத்தின் மேலுள்ள முனைப்புள்ளி வழியால அந்த ஆரத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு வட்டத்திற்கு அப்புள்ளியில் தொடுகோடாகும்.
• தொடுபுள்ளியில் தொடுகோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும்.
• வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து இரு தொடுகோடுகள் வரைய முடியும். அவ்விரு தொடுகோடுகளும் சம நீளமுள்ளவை.
• A மற்றும் B புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடுகள் இரண்டும் புள்ளி P இல் வெட்டிக்கொண்டால், கோணங்கள் ∠BOA , ∠BPA இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். O, வட்டமையம்.
• AD புள்ளி A இல் வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடு; AQ வட்ட நாண் எனில் ∠DAQ = ¹⁄₂arc(AQ).

வடிவவியல் வடிவங்களில் உட்புறமும் வெளிப்புறமும் வரையப்படும் வட்டங்கள்

• ஒவ்வொரு முக்கோணத்துக்குள்ளும் அதன் மூன்று பக்கங்களையும் தொட்டவாறு ஒரு தனித்த வட்டம் வரைய முடியும். அவ்வட்டம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டம் எனப்படும்.
• ஒவ்வொரு முக்கோணத்துக்குள்ளும் அதன் மூன்று உச்சிகளின் வழிச்செல்லும் ஒரு தனித்த வட்டம் வரைய முடியும். அவ்வட்டம் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டம் எனப்படும்.
• தொடு பலகோணம் என்பது அதன் உட்புறமாக அனைத்துப் பக்கங்களையும் தொடுமாறு ஒரு வட்டம் வரையக்கூடியதொரு குவிவுப் பலகோணம் ஆகும். தொடு நாற்கரம் ஒரு தொடு பலகோணமாகும்.
• வட்டப் பலகோணம் என்பது அதன் ஒவ்வொரு உச்சிகளின் வழிச்செல்லுமாறு ஒரு வட்டம் வரையக்கூடியதொரு குவிவுப் பலகோணமாகும். வட்ட நாற்கரம் ஒரு வட்டப் பலகோணம்.

மேலும் பார்க்க

வட்டவலையம் கோளம் ஓரலகு வட்டம் அப்பொலோனிய வட்டங்கள் ஸ்பைக்கர் வட்டம் சூழ்தொடு வட்டம்

முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் சமச்சரிவு இடைக்கோடு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் இலெசிட்டரின் தேற்றம் பிரகார்டு வட்டம்

செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் தொடுகோட்டு நாற்கரம் வட்ட நாற்கரம் சூழ்தொடு வட்டம் குவியம் (வடிவவியல்)

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Circle", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• Circle (PlanetMath.org website)
• Weisstein, Eric W., "Circle", MathWorld.
• Interactive Java applets for the properties of and elementary constructions involving circles.
• Interactive Standard Form Equation of Circle Click and drag points to see standard form equation in action
• Munching on Circles at cut-the-knot