Chreis

Dä Artikel behandlet die geometrischi Figur Kreis. Für anderi Bedütige vom Begriff «Kreis» lueg doo.

Chreis mit Mittelpunkt O, Radius R, Durchmässer D und Umfang C

Dr Chreis isch e sehr wichtigi geometrischi Figur. Als Ortskurve in ere Eebeni isch er so definiert, das er alli Pünkt P enthaltet, wo vom Mittelpunkt M die konstant Entfärnig r (Radius) hei.

Algebrahischi Chreisdarstellige

In dr Algebra chöne verschiedenschti Formle brucht wärde, um e Kreis darzstelle. Do mol e chlini Uflischtig:

Vektorielli Gliichig

Dur d Definition vom konstante Abstand zum e Punkt M isch ganz eifach folgendi Glichig z begründe.

${\overline {MP}}=r$

Dr Abstand $|{\overrightarrow {MP}}|$ wird vektoriell dur de Betrag vom Vektor zwüsche M und P dargstellt:

$|{\overrightarrow {MX}}|=r$

$|{\overrightarrow {0P}}-{\overrightarrow {0M}}|=r$

Koordinategliichig

Us dr vektorielle Gliichig loht sich ganz eifach wider d Koordinate gliichig härleite. Dr Betrag vome Vektor cha me nämlig ganz eifach mitem Pythagoras bestimme ( x & y si d Koordinate vo P, u & v si d Koordinate vo M):
$\left|{\begin{pmatrix}x-u\\y-v\end{pmatrix}}\right|=r$

${\sqrt {(x-u)^{2}+(y-v)^{2}}}=r$

$(x-u)^{2}+(y-v)^{2}=r^{2}$

Kräisberächnig

Dr Umfang

Im Raame vo dr Elementargeometrii isch $\pi$ s Verheltnis vom Kräisumfang $U$ zum Durchmässer vom Kräis $d$ , und zwar für alli Kräis. Es gältet also

U=\pi \,d=2\pi \,r.

Mit $r={\tfrac {1}{2}}d$ isch dr Radius vom Kräis gmäint.

D Kräisflechi

Dr Flecheninhalt vo dr Kräisflechi $A$ (lat. area: Flechi) isch broportional zum Kwadrat vom Radius $r$ bzw. vom Durchmässer $d$ vom Kräis. Mä bezäichnet en au as Kräisinhalt.

A=\pi r^{2}={\frac {\pi \,d^{2}}{4}}\approx 0{,}78540\;d^{2}.

Dr Durchmässer

Dr Durchmässer $d$ vom ene Kräis mit eme Flechiinhalt $A$ und mit em Radius $r$ loot sich dur

d=2r=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}\approx 1{,}1284\;{\sqrt {A}}

berächne.

D Chrümmig

D Chrümmig git in jedem Punkt $\mathrm {P}$ vom Kräisumfang aa, wie stark dr Kräis in dr ummiddelbare Umgääbig vom Punkt $\mathrm {P}$ von ere Graade abwiicht. D Chrümmig $\kappa$ vom Kräis im Punkt $\mathrm {P}$ loot sich dur

\kappa (\mathrm {P} )={\frac {1}{r}}

berächne, wo $r$ wider dr Radius vom Kräis isch. Im Geegesatz zu andere mathematische Kurve het dr Kräis in jedem Punkt die gliichi Chrümmig. Usser em Kräis het nume no die Graadi e konstanti Chrümmig $\kappa =0$ . Bi alle andere Kurve isch d Chrümmig vom Punkt $\mathrm {P}$ abhängig.

Witeri Formle

In de Formle unde nooche bezäichnet $\alpha$ dr Sektorwinkel im Boogemaass, $\alpha '$ dr Winkel im Graadmaass, wo d Umrächnig $\alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\alpha '$ gältet. Bi dr Berächnig vo dr Flechi vom Kräisring isch $r_{a}$ dr üsseri Radius vom Kräisring und $r_{i}$ dr inneri.

Formle zum Kräis
Flechi vom Kräisring	$A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})$
Lengi vom Kräisbooge	$L_{B}=r\alpha$
Flechi vom Kräissektor	$A_{\mathrm {SK} }={\frac {r^{2}}{2}}\alpha$
Flechi vom Kräissegmänt	$A_{\mathrm {SG} }={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right)$
Lengi vo dr Kräisseene	$l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}$
Hööchi vom Kräissegmänt	$h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}$

Litratuur

Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Uflaag. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Uflaag. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbade 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.

Weblingg

Commons: Kreis – Sammlig vo Multimediadateie

Wikibooks: Beweis der Transzendenz von e und π — Lern- und Lehrmaterialie

„Mathematische Basteleien“ zum Kreis
Eric W. Weisstein: Kreis. In: MathWorld (änglisch).