Teorema de Lindemann–Weierstrass

O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α₁, α₂, ...,α_n são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais $\mathbb {Q}$ , então $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ são algebricamente independentes sobre $\mathbb {Q}$ ; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ sobre $\mathbb {Q}$ é n.

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que e^α é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.

Transcendência de e e π

A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.

Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {e^α} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, e^α é transcendente. Em particular, e¹ = e é transcendente.

Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e^2πi = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.

Bibliografia

Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213–225.

Ver também

Prova de irracionalidade do número de Euler

Ligações externas

«Demonstração do teorema de Lindemann-Weierstrass» (em inglês)