Prova de que 22/7 é maior que π

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
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A demonstração da famosa desigualdade ${\frac {22}{7}}>\pi \,$ remonta à antiguidade. A versão apresentada neste verbete usa recursos modernos, mas não vai além de conceitos básicos do cálculo. O objetivo desta apresentação não é convencer o leitor da desigualdade, dado que existem métodos sistemáticos de calcular o valor de pi com aproximação arbitrária. A elegância desta prova resulta da ligação com a teoria das aproximações diofantinas. Stephen Lucas afirmou ser esta demonstração "um dos mais belos resultados ligados à aproximação de π". Julian Havil finaliza uma discussão sobre frações continuadas aproximantes de π com este teorema, afirmando ser "impossivel resistir a mencioná-lo" naquele contexto.

Contexto

A fração ²²⁄₇ é uma aproximação diofantina de π amplamente usada. É um dos termos da fração continuada de π. É muito fácil verificar que ${\frac {22}{7}}>\pi \,$ observando as expansões decimais:

${\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&\approx 3.14285714\dots \\\pi \,&\approx 3.14159265\dots \end{aligned}}$

Esta aproximação é conhecida desde a antiguidade, Arquimedes escreveu a primeira prova conhecida deste resultado no século III a.C. A demonstração de Arquimedes consistia em mostrar que 22/7 é maior que a razão entre o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito em uma circunferência e o diâmetro da circunferência.

Ideia básica

A ideia básica desta demonstração consiste em mostrar as seguinte relações:

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .$

Portanto ²²⁄₇ > π.

Detalhes

Positividade da integral

${\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}dx&\geq &\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {4}{6}}+{\frac {6}{7}}-{\frac {4}{8}}+{\frac {1}{9}}\right)\\&=&{\frac {1}{1260}}>0\end{array}}$

Valor exato da integral definida

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$	(expandindo termos no numerador)
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$	(efetuada a divisão polinomial)
	$=\left.{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right|_{0}^{1}$	(integração termo-a-termo)
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$	(aplicação numérica)
	$={\frac {22}{7}}-\pi .$	(simplificação)

Resultado refinado

Em 1944, Dalzell refinou este resultado usando as seguintes cotas para a integral:

${1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.$

Então temos:

${22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.$

Este método permite calcular de forma simples o valor de π com três casas decimais.

Ligações externas

• «The problems of the 1968 Putnam competition». , with this proof listed as question A1. 
• «The Life of Pi» (PDF). by Jonathan Borwein—see page 5 for this integral. 

Prova de que ²²/₇ é maior que π

Título a ser usado para criar uma ligação interna é Prova de que 22/7 é maior que π.