Identidade de Euler

A função exponencial natural $e z$ pode ser definida como o limite de $(1 + z N) N$ , quando $N$ tende ao infinito, e assim $e i π$ é o limite de $(1 + i π N) N$ . Nesta animação $N$ assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de $(1 + i π N) N$ é mostrado como efeito combinado de $N$ multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de $(1 + i π N) N$ . Pode ser visto que quando $N$ cresce $(1 + i π N) N$ aproxima o limite −1.

Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação

e^{i\pi }+1=0

.

Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, $i$ é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e $\pi$ é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Demonstração da Identidade de Euler

A série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}$ .

Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,

$e^{x}=e^{a}(x-a)^{0}+e^{a}{(x-a)^{1} \over 1!}+e^{a}{(x-a)^{2} \over 2!}+...$

para a série centrada no ponto $a=0$ ,

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$ .

Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que $e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}.e^{z_{2}}$ e se fizermos $z=iy$ onde $y$ é um número real, obteremos: $e^{iy}=1+iy+\left({\frac {(iy)^{2}}{2!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{5}}{5!}}\right)\cdots =1+iy-\left({\frac {y^{2}}{2!}}\right)-i\left({\frac {y^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {y^{4}}{4!}}\right)+i\left({\frac {y^{5}}{5!}}\right)\cdots$

$=1-\left({\frac {y^{2}}{2!}}\right)+\left({\frac {y^{4}}{4!}}\right)-\left({\frac {y^{6}}{6!}}\right)\cdots +i[y-\left({\frac {y^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {y^{5}}{5!}}\right)\cdots ]$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}y^{2n} \over (2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}y^{2n+1} \over (2n+1)!}$ ,

as duas séries são as famosas séries das funções $cos(y)$ e $sen(y)$ , respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será