Polo (análise complexa)

O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo ${\frac {1}{z^{n}}}$ no ponto $z=0$.

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a.

Definição

Formalmente, suponha que $\Omega$ é um subconjunto aberto do plano complexo $\mathbb {C}$, $a$ é um elemento de $\Omega$ e $f:\Omega _{a}\to \mathbb {C}$ é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa $g:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ e um inteiro não negativo $n$ tal que

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$

para todo $z$ em $\Omega _{a}$, então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

$f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.$

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica $\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}$ (em $\Omega$) é chamada a parte regular de $f$. Então, o ponto a é um polo de ordem n de $f$ se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de $f$ em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company 

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Pole no MathWorld.
• «Module for Zeros and Poles by John H. Mathews»