Biegun (analiza zespolona)

Biegun funkcji meromorficznej $f(z)$ – taki punkt osobliwy $z=a$ funkcji meromorficznej, w którego otoczeniu funkcja ta nie jest ograniczona, zaś w punkcie $z=a$ przyjmuje wartość nieskończoną, tj.

\lim \limits _{z\to a}f(z)=+\infty \quad

lub

\quad \lim \limits _{z\to a}f(z)=-\infty

Ponadto: a). jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu $z=a$ składa się z $k<\infty$ wyrazów, to biegun ten jest rzędu $k$ b). jeśli $k=\infty$ , to punkt $z=a$ jest punktem istotnie osobliwym, tzn. nie istnieje granica $\lim \limits _{z\to a}f(z)$

Uwaga: Brak granicy występuje, gdy funkcja $f(z)$ przyjmuje różne wartości przy zbliżaniu się do punktu osobliwego. Jedną z możliwości jest rozbieżność analogiczna jak funkcji rzeczywistych, gdzie istnieją różne granice lewo- i prawostronna; np. funkcja $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ nie ma granicy w punkcie x=0, gdyż $\lim \limits _{x\to 0^{-}}{\tfrac {1}{x}}=-\infty$ , zaś $\lim \limits _{x\to 0^{+}}{\tfrac {1}{x}}=+\infty$

Twierdzenia o biegunach i zerach funkcji f oraz 1/f

Tw. 1 Jeśli punkt a jest biegunem $m$ -krotnym funkcji $f(z)$ , to funkcja $g(z)={\tfrac {1}{f(z)}}$ jest również meromorficzna i w punkcie $z=a$ posiada zero $m$ -krotne. Odwrotnie, jeśli punkt $z=a$ jest zerem $m$ -krotnym funkcji $f(z)$ , to funkcja w tym punkcie posiada biegun $m$ -krotny.

Tw. 2 Jeśli punkt $z=a$ jest biegunem $m$ -krotnym funkcji $f(z)$ to funkcja $g(z)$ jest również meromorficzna i w punkcie $z=a$ posiada zero $m$ -krotne.

Przykłady

Przykład 1: Funkcja $f(z)=\operatorname {tg} (z)$

w punktach

z=\pi (k-{\tfrac {1}{2}})

ma bieguny rzędu 1.

Przykład 2: Funkcja

f(z)={\frac {1}{2-z}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}

a) Bieguny: w punkcie $z=1$ ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie $z=2$ ma biegun jednokrotny.

b) Zera: Aby obliczyć zera tej funkcji, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; po przekształceniach otrzymamy:

f(z)={\frac {z^{2}-3z+3}{(2-z)(z-1)^{2}}}

Rozwiązując równanie kwadratowe, występujące w liczniku, otrzymamy

f(z)={\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})}{(2-z)(z-1)^{2}}}

gdzie:

z_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}i}{2}}

,

z_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}i}{2}}

- zera funkcji

f(z)

c) Funkcja odwrócona: Postać funkcji $g(z)={\frac {1}{f(z)}}$ łatwo znaleźć zamieniając miejscami licznik i mianownik funkcji $f(z)$

g(z)={\frac {(2-z)(z-1)^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}

Stąd widać, że funkcja $g(z)$ ma zera tam, gdzie funkcja $f(z)$ ma bieguny i odwrotnie - tam, gdzie funkcja $f(z)$ ma bieguny, tam funkcja $f(z)$ ma zera. Krotności zer i odpowiadających im biegunów obu funkcji są identyczne.

Bibliografia

W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1