Polo (analisi complessa)

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa $f(z)$ , si intende una singolarità isolata $z_{0}$ della funzione per cui

\lim _{z\to z_{0}}|f(z)|=+\infty .

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di Laurent

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata $z_{0}$ è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}+{\frac {b_{1}}{z-z_{0}}}+\cdots +{\frac {b_{k}}{\left(z-z_{0}\right)^{k}}},

con $b_{k}\neq 0$ , per qualche $k>0$ .

In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice $i$ negativo sono un numero finito $k$ diverso da zero:

f(z)=\sum _{n=-k}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}.

Ordine del polo

L'ordine del polo è il numero naturale $k$ di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente, $z_{0}$ è un polo se per qualche $h>0$ il limite:

b_{h}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\left(z-z_{0}\right)^{h},

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto $z_{0}$ un polo di ordine $h$ .

Esempi

Una funzione

f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}},

dove $p$ e $q$ sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

\mathbb {C} \setminus \{z_{1},\ldots ,z_{n}\},

dove $z_{1},\ldots ,z_{n}$ sono le radici di $q$ . Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

f(z)={\frac {z+1}{z(z-1)^{2}}},

ha un polo di ordine $1$ in $0$ ed un polo di ordine $2$ in $1$ .

La funzione

f(x)={\frac {1}{\sin x}},

è definita su

\mathbb {C} \setminus \{k\pi \ |\ k\in \mathbb {Z} \},

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto $k\pi$ . Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfa

Una funzione olomorfa $f$ avente poli nei punti $z_{1},\ldots z_{n}$ può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ : è sufficiente imporre $f(z_{i})=\infty$ . Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.