Specjalna grupa unitarna

Specjalna grupa unitarna stopnia $n$ oznaczana symbolem $SU(n)$ jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych $U$ o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci $e^{i\phi },$ czyli liczbę o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy $SU(n),$ tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy $SU(n)$ składa się z macierzy wymiaru $n\times n.$

(2) Inne reprezentacje grupy $SU(n)$ składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż $n,$ jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz $n\times n$ ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy $SU(n)$ – niezależnie od reprezentacji – wynosi $n^{2}-1.$ Każdą specjalną macierz unitarną grupy $SU(n)$ dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej $n^{2}-1$ parametrów

U(n,{\vec {\alpha }})=\exp \left({i\sum _{a=1}^{n^{2}-1}\alpha _{a}T_{a}}\right)=e^{i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {T}}},

gdzie:

{\vec {\alpha }}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n^{2}-1})

jest

n^{2}-1

wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych,

{\vec {T}}=(T_{1},T_{2},\dots ,T_{n^{2}-1})

jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze

T_{a}

nazywa się generatorami grupy

SU(n),

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru $m$ jest także równy $m.$

Grupę $SU(n)$ definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy $SU(2)$ są inne niż dla $SU(3),$ itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy $SU(n)$ są macierzami wymiaru $n\times n$ (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż $n$ ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

{\text{tr}}[(T_{a})^{2}]={\tfrac {1}{2}}.

Generatory algebry Liego su(n) grupy SU(n)

Liczba generatorów

Każda specjalna macierz unitarna $U$ wymiaru $n\times n$ może być przedstawiona w postaci

U(n)=e^{iH(n)},

gdzie:

H(n)

– macierz hermitowska wymiaru

n\times n

bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0),

i

– jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru $n\times n$ można wyrazić za pomocą $n^{2}-1$ liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich $T_{a}$ wymiaru $n\times n,$ tj.

H(n)=\sum _{a=1}^{n^{2}-1}{\alpha _{a}T_{a}},

gdzie $T_{a}$ nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego $su(n).$

Dlaczego generatory są bezśladowe

Macierze unitarne $U$ mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze $T_{a}$ muszą być bezśladowe, gdyż:

\det U=1\quad {\text{oraz }}

\det U=\det(e^{H})=e^{\operatorname {tr} (H)},

co implikuje $\operatorname {tr} (H)=0.$

Związki komutacji. Stałe struktury

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb $a,b=1,2,\dots ,n$ komutatory są w postaci kombinacji liniowych

[T_{a},T_{b}]=i\sum _{c}\,f_{abc}T_{c},

gdzie:

[T^{a},T^{b}]=T^{a}T^{b}-T^{b}T^{a}

– komutator,

f_{abc},a,b,c=1,2,\dots ,n

– tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego $su(n)$ danej grupy $SU(n).$

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz $B'$ nazywa się podobną do macierzy $B,$ jeżeli

B'=U^{\dagger }BU,

gdzie $U$ jest macierz unitarną, zaś $U^{\dagger }$ jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar $n.$ Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy $SU(n).$

Reprezentacja fundamentalna grupy

Grupę $SU(n)$ definiuje więc

postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru $n\times n$ albo
wartości numeryczne stałych struktury $f_{abc}.$

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy $SU(n).$

Inne reprezentacje grupy SU(n)

Inne reprezentacje grupy $SU(n)$ otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż $n,$ tj. wymiaru $1,2,\dots ,n+1,n+2,\dots$ przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa $SU(2)$ ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze $2\times 2$ (macierze Pauliego, które mnożone przez $1/2\hbar$ definiują operatory spinu o liczbie spinowej $s=1/2$ ), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru $2s+1=3,4,5,\dots ,$ odpowiadające liczbom spinowym $s=1,\,3/2,\,2,$ itd.

Grupa SU(n) jako podgrupa. Izomorfizmy

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych $U(n),$ które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych $C^{n}.$ Grupa $U(n)$ jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych $GL(n,{\mathbb {C} })$ określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa $SU(n)$ jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z $SU(2)$ do grupy obrotów $SO(3),$ którego jądro jest $[+I,-I].$ Grupa $SU(2)$ jest także identyczna z grupą symetrii spinorów $Spin(3).$

Zastosowania grup SU(n)

Grupy $SU(n)$ znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

$SU(2)$ – w opisie oddziaływań elektrosłabych,
$SU(3)$ w opisie oddziaływań silnych w chromodynamice kwantowej.

Topologia grupy SU(n)

Specjalna grupa unitarna $SU(n)$ jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar $n^{2}-1.$ Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa SU(1)

Grupa $SU(1)$ przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa $I=[1].$

Grupa SU(2)

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa SU(3)

Topologia

Grupa $SU(3)$ jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Generatory algebry Liego su(3) reprezentacji fundamentalnej

Algebra Liego $su(3)$ związana z grupą Liego $SU(3)$ posiada $3^{2}-1=8$ generatorów $T_{a},a=1,2,\dots ,8.$ Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}},

gdzie $\lambda _{a}$ są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

{\begin{aligned}&\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze $\lambda _{2},\lambda _{5},\lambda _{7}$ mają elementy urojone.

Reguły komutacyjne/antykomutacyjne

Powyższe generatory $T_{a},a=1,2,\dots ,8$ implikują

a) reguły komutacyjne

[T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},

b) reguły antykomutacyjne

\{T_{a},T_{b}\}={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c}

lub równoważnie

\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.

Stałe struktury

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury $f_{abc}$ algebry $su(3)$ są zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

f_{123}=1,

f_{147}=f_{516}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{637}={\tfrac {1}{2}},

f_{458}=f_{678}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Symetryczne stałe

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe $d_{abc}$ są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}},

d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},

d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

\operatorname {tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab},

gdzie $\delta _{ab}$ - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Normowanie generatorów

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

{\text{tr}}(T_{a})^{2}={\frac {1}{2}}.

Dowód (korzystamy z własności śladu):

{\text{tr}}(T_{a})^{2}={\text{tr}}\left({\frac {\lambda _{a}}{2}}{\frac {\lambda _{a}}{2}}\right)={\text{tr}}\left({\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\text{tr}}(\lambda ^{2})={\frac {1}{4}}\cdot 2={\frac {1}{2}}.

Podalgebry algebry su(3)

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

$\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\},$
$\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}$ oraz
$\{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}.$

Operatory Casimira – niezmienniki algebry su(3)

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}\cdot I,

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Generowanie ogólnego elementu

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską $H$ wymiaru 3×3, taką że ${\text{tr}}(H^{2})=2$ można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy $H$

{\begin{aligned}\exp(i\theta H)&=\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}},\end{aligned}}

gdzie:

\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].

Zastosowania w chromodynamice kwantowej

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza $\theta ^{a}({\mathbf {r} },t),a=1,\dots ,8$ pola gluonowego $U$ musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie $U=\exp(i\sum _{a=1}^{8}\theta ^{a}({\mathbf {r} },t)\lambda _{a}/2).$

Reprezentacja grupy. Reprezentacje wierne

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy $G$ nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych $D$ takie, że

D(g_{1}\circ g_{2})=D(g_{1})\cdot D(g_{2}),

gdzie $\circ$ oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy $D(g_{i})$ tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

D(e)=1,

D(g\circ g^{-1})=D(g)\cdot D(g^{-1})=1,

to znaczy:

element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
element odwrotny do $g$ jest reprezentowany przez macierz odwrotną do $D(g).$

Zobacz też

Grupy transformacji

Pojęcia powiązane

Bibliografia

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.
David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.
Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

Linki zewnętrzne

S. Mrówczyński, Grupa SU(N) i jej reprezentacje
A. Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje oraz ich zastosowania w fizyce
C. Koerber, Lie Algebra Representation Theory – SU(3)-Representations in Physics