A speciális unitér csoport, jelölés szerint a matematikában az olyan unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.
Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak (), mely az unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint .
Az csoportok legegyszerűbb esete az , mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben . Az izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus és a speciális ortogonális forgatáscsoport között, melynek magja az halmaz, ahol az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a Clifford-algebra páros részével, így az megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a spincsoporttal.
Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az pedig a kvantum-színdinamikában.[1]
A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként . Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszerűen összefüggő.[2] Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé,[3] tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű. [4]
A speciális unitér csoport centruma izomorf a ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az -edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor , az a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.
Az ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport .
Az Lie-algebrája, jelölés szerint , az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla.[5] A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva -vel. Az algebra dimenziója szintúgy .
Az olyan -es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:
ahol például az komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás.[6]
Ha a definícióban szereplő és komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát , akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:
Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb () egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés
ahol a -es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, -nek a -ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása egy kompakt részsokaságába, pontosabban .
Ennek következtében, diffeomorf -vel, mely bizonyítja, hogy egyszerűen összefüggő, pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.
Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal
[szerkesztés]
Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az csoportot generálják. Az általánosan megadott mátrix
leképezhető a következő formájú kvaternióba:
Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát izomorf az egységkvaterniók csoportjához.[7]
Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus és között. Ennek következtében, izomorf az faktorcsoporthoz, az univerzális fedése, továbbá az -at definiáló sokaság létrehozható, ha antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.
Az csoport Lie-algebrájába azon -es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla.[8] Pontosabban:
Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:
melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:
Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: és Ennek következtében az algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.
Továbbá, a Lie-algebra segítségével levezethetőek az ábrázolásai.
Az egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan -as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy.
Az csoport egyszerűen összefüggő és kompakt.[9] A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az egységgömbre a térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf -vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy egy fibrált nyaláb, melynek bázistere , fibruma (vagy rostja) pedig . Mivel a fibrum és a bázistér is egyszerűen összefüggő, ebből következik, hogy is egyszerűen összefüggő.[10]
Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az csoport egy nemtriviális (csavart) -nyaláb bázistér felett.
Az Lie-algebrája , amely a -as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a
mátrixok, ahol a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:
A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:
ahol a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek esetén a következők:
ahol olyan , melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus tényezők a következők:
Egy általános csoportelem, melyet egy -as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:[11][12]
ahol
Adott test esetén definiálható az általánosított speciális unitér csoport , mely azon lineáris leképezések csoportja, melyek determinánsa egy és egy feletti -dimenziós vektortérhez tartoznak. Továbbá, ezek a leképezések változatlanul hagynak egy nemelfajuló, szeszkvilineáris formát, melynek szignatúrája . Az mező felcserélhető egy kommutatív gyűrűre, ebben az esetben viszont a vektortér felcserélődik egy szabad modulusra.
Amennyiben egy szignatúrával rendelkező[13] hermitikus mátrixot, akkor minden -re teljesül
Amennyiben a csoport -ként van jelölve bármiféle testre való utalás nélkül, akkor a test általában a komplex számtest .
- ↑ Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons (1984). ISBN 0-471-88741-2
- ↑ Hall 2015, Proposition 13.11
- ↑ Az egyszerű Lie-csoport olyan Lie-csoport, melynek nincs összefüggő nem-triviális normálosztója.
- ↑ Wybourne, B.G.. Classical Groups for Physicists. Wiley-Interscience (1974). ISBN 0471965057
- ↑ Hall 2015 Proposition 3.24
- ↑ Hall 2015 Exercise 1.5
- ↑ Savage, Alistair: LieGroups
- ↑ Hall 2015 Proposition 3.24
- ↑ Hall 2015 Proposition 13.11
- ↑ Hall 2015 Section 13.2
- ↑ Rosen, S P (1971). „Finite Transformations in Various Representations of SU(3)”. Journal of Mathematical Physics 12 (4), 673–681. o. DOI:10.1063/1.1665634.
- ↑ Curtright, T L; Zachos, C K (2015). „Elementary results for the fundamental representation of SU(3)”. Reports on Mathematical Physics 76 (3), 401–404. o. DOI:10.1016/S0034-4877(15)30040-9.
- ↑ Tehát p pozitív és q negatív sajátértéke van.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Special unitary group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Hall, Brian C.. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer (2015). ISBN 978-3319134666